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Question

¿Es necesario el axioma de la opción Mostrar que ${0,1}^\mathbb{R}$ no es vacío?

Sé que el axioma de la opción es equivalente a la declaración de que el producto de espacios no vacío no está vacío. ¿Sin embargo, hay otra manera de demostrar que ${0,1}^\mathbb{R}$ no es vacío que no usa el axioma de elección?

Answer 1

El conjunto en cuestión corresponde a funciones de $\mathbb R$ ${0,1}$. Usted puede seleccionar la función constante $0$ sin el axioma de elección, mostrando así que el conjunto es no vacío.

Answer 2

Es cierto que

el producto de cualquier familia de vacío conjunto es no vacío

es equivalente al axioma de elección (bajo el estándar de los axiomas de ZF).

Sin embargo, esto no implica que no se puede decidir por un específico producto a ser no vacío.

En particular, si $X$ no está vacía, el conjunto de $X^Y$ de todos los mapas $Y\to X$ se puede probar que no está vacío, porque si $x\in X$, la constante asignación de la función de cada elemento de $Y$ $x$está bien definido y no requiere de elección.

El problema está en lugar de algo como $$\prod_{i\in I}X_i$$ donde el hecho de que cada una de las $X_i$ no está vacío no permita una única opción como antes, pero requiere de la "simultánea" elección de un elemento de cada una de las $X_i$ (es decir, una función de elección).