Elaboración matemática del colapso de la función parcial de la onda

Question

Si dada una función de onda que es un elemento de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ que es un producto tensor de otros dos espacios de Hilbert $\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$, ¿cómo se puede formular de la medición de la función en uno de los sub-espacios, es decir,$\mathcal{H}_1$?

Por ejemplo, supongamos que tenemos un sistema de $\left|\psi\right>$ que consta de dos qubits $\left|\psi_1\right>\otimes\left|\psi_2\right>$. El sistema se somete a una operación unitaria, dando a $\left|\psi'\right>=U\left|\psi\right>$. Todavía debe ser posible medir sólo uno de los dos qubits, causando un colapso parcial del sistema.

Si los dos qubits no están enredados después de $U$, entonces pueden ser separados como $\left|\psi'\right>=\left|\psi_1'\right>\otimes\left|\psi_2'\right>$. Parece claro que la medición de decir $\left|\psi_1'\right>$ no debe provocar $\left|\psi_2'\right>$ a un colapso.

Si los qubits son parcialmente enredados, todavía puede ser posible que uno de los qubits a ser en algún tipo de superposición. Por ejemplo, si $\left|\psi'\right>=\frac{\left|00\right>+\left|01\right>+\left|11\right>}{\sqrt{3}}$, $\left|\psi_2'\right>$'s estado depende de lo $\left|\psi_1'\right>$ se derrumba. Si $\left|\psi_1'\right>\rightarrow\left|0\right>$, entonces podría $\left|\psi_2'\right>$ todavía se encuentra en una superposición, es decir,$\frac{\left|0\right>+\left|1\right>}{\sqrt{2}}$?

Para ser más específica acerca de la "formulación" de parte de mi pregunta, se puede utilizar por ejemplo, $\left|\left<0\mid\psi_1'\right>\right|^2$ encontrar la probabilidad de que $\left|\psi_1'\right>$ se derrumba a $\left|0\right>$, asumiendo una función de onda normalizada. ¿Cuál sería el formato para, por ejemplo, la medición de un solo qubit de $\left|\psi'\right>$? Sería algo parecido a $\left(\left<0\right|\otimes\left<\psi_2'\right|\right)\left|\psi'\right>$?

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Algunos insight estoy mirando: la expectativa de valor de un operador $O$ está dado por $\left<\psi\mid O\mid\psi\right>$. Al $O$ es una proyección del operador, tales como $\left|0\right>\left<0\right|$ (que los proyectos a un$\left|0\right>$ -), la expectativa de valor es la probabilidad de que la medición de los rendimientos que resultado en particular. Así que tal vez parcial de medición de un sistema implica la proyección de algunos subespacio generado por múltiples base de los estados?

Answer 1

En general, este tipo de "colapso parcial" de una función de onda no puede ser expresado como la costumbre producto interior (es decir, con $\left<0\mid\psi\right>$). En su lugar, debe utilizar la expectativa de valor de la proyección correspondiente operador. Esto funciona para el "colapso total" a un solo estado, como de la correspondiente proyección del operador es sólo el exterior del producto de la base con la propia ($\left|0\right>\left<0\right|$).

Prueba:

Utilizando el ejemplo dado arriba, deje $P$ ser el operador que proyecta el primer qubit a $\left|0\right>$. Esto puede ser representado por la matriz de $\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$. Supongamos que existe alguna base del estado de $\left|B\right>$ que representa a $\left|\psi_1'\right>=\left|0\right>$ mientras $\left|\psi_2'\right>$ no se ve afectado. $P$ puede entonces escribirse como $\left|B\right>\left<B\right|$. Si $\left|B\right>$ está dado por la matriz$\begin{bmatrix}x\\y\\z\\w\end{bmatrix}$,$\left|B\right>\left<B\right|=\begin{bmatrix}xx^*&xy^*&xz^*&xw^*\\yx^*&yy^*&yz^*&yw^*\\zx^*&zy^*&zz^*&zw^*\\wx^*&wy^*&wz^*&ww^*\end{bmatrix}$. Equiparables con las de la anterior matriz da las siguientes ecuaciones:

• $z=w=0$
• $\left|x\right|^2=\left|y\right|^2=1$
• $xy^*=x^*y=0$

Que no tiene solución. Por lo tanto, $\left|B\right>$ no existe.

Esto significa que la probabilidad de que la medición de la parte de un sistema debe ser expresado usando el operador de expectativas, $\left<\psi\mid P\mid\psi\right>$.

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Es posible, sin embargo, para $P$ que se expresa como una suma de exterior de productos. En este caso, $P=\left|00\right>\left<00\right|+\left|01\right>\left<01\right|$. Esto podría ser generalizado a ser una suma de las proyecciones para cada base del subespacio.