¿por qué los textos de análisis estándar no relajan el requisito de inyectividad del teorema del cambio de variables multivariable?

Question

En los textos estándar de análisis multivariable, el cambio de variables para la integración multivariable en el espacio euclidiano se establece casi siempre para un $C^1$ difeomorfismo $\phi$ dando lugar a la conocida ecuación (para las continuas $f$ , digamos)

$$\int_{\phi(U)}f=\int_U(f\circ\phi)\cdot|\det D\phi|$$

Por supuesto, este resultado por sí mismo no es muy útil en la práctica porque un difeomorfismo suele ser difícil de conseguir. Los mejores textos de cálculo avanzado y de análisis multivariable explican explícitamente cómo la hipótesis de que $\phi$ es inyectiva con $\det D\phi\neq0$ puede relajarse para manejar problemas a lo largo de conjuntos de medida cero -- un resultado que es necesario para casi todas las aplicaciones prácticas del teorema, empezando por las coordenadas polares.

A pesar de ofrecer esta ligera generalización, muy pocos textos estándar afirman que la situación puede mejorarse aún más: existe un teorema análogo para arbitrario $C^1$ mapeos $\phi$ y no sólo las que son inyectivas en todas partes excepto en un conjunto de medida cero. Simplemente tenemos en cuenta cuántas veces un punto de la imagen es golpeado por $\phi$ , dando

$$\int_{\phi(U)}f\cdot\,\text{card}(\phi^{-1})=\int_U(f\circ\phi)\cdot|\det D\phi|$$

donde $\text{card}(\phi^{-1})$ mide la cardinalidad de $\phi^{-1}(x)$ .

Creo que este teorema es mucho más natural y satisfactorio que -y seguramente tan heurísticamente plausible como- el primero. Por un lado, elimina una enorme restricción, acercando el teorema al cambio de variables estándar de una variable para el que no se requiere inyectividad (aunque, por supuesto, el teorema de una variable es realmente un teorema sobre formas diferenciales). En particular, destaca que lo importante es la regularidad, no la inyectividad. Por otra parte, no hay un gran paso desde aquí hasta la intuición geométrica de la teoría de grados o de la "fórmula del área" en la teoría geométrica de la medida. (De hecho, el factor $\text{card}(\phi^{-1})$ es un caso especial de lo que los antiguos referentes de la teoría geométrica de la medida llamaban la "función de multiplicidad" o la "indicatriz de Banach"). También se utiliza en probabilidad multivariante para escribir densidades de transformaciones no inyectivas de variables aleatorias. Y, por último, está en el espíritu de los enfoques modernos hacer un gesto para llegar al resultado más general posible. El enunciado tradicional es realmente un caso especial; la inyectividad sólo se vuelve esencial cuando definimos la integral sobre un colector (en lugar de un colector parametrizado), que queremos que sea independiente de la parametrización. Creo que enseñar el resultado más general aclararía mucho estas cuestiones, que son una fuente constante de confusión para los principiantes.

Sin embargo, muchos de los textos estándar de análisis multivariable (Spivak, Rudin PMA y RCA, Folland, Loomis/Sternberg, Munkres, Duistermaat/Kolk, Burkill) no mencionan este resultado, ni siquiera de pasada, por lo que puedo decir. La impresión que se lleva un estudiante típico es que el enunciado tradicional es la última palabra en la materia, que no se puede mejorar; después de todo, la posibilidad de mejora ni siquiera se insinúa, incluso cuando el resultado multivariable se compara con el resultado de una sola variable. Así que he tenido que buscar discusiones sobre la extensión; la he encontrado aquí:

• Zorich, Análisis Matemático II (página 150, ejercicio 9, para la integral de Riemann)
• Kuttler, Modern Analysis (página 258, para la integral de Lebesgue; utilizada más adelante en una discusión sobre las densidades de probabilidad)
• Csikós, Geometría diferencial (página 72, para la integral de Lebesgue)
• Ciarlet, Análisis funcional lineal y no lineal con aplicaciones (página 34, para la integral de Lebesgue)
• Bogachev, Teoría de la medida I (página 381, para la integral de Lebesgue)
• el Página de Planet Math sobre el cambio de variables multivariable (Teorema 2)

También estoy seguro de haberlo visto en algún libro de probabilidad multivariable, pero no recuerdo cuál. Pero ninguno de ellos es un libro de texto estándar, excepto quizás Zorich.

Mi pregunta Existen referencias de análisis estándar con buenas discusiones sobre esta extensión del resultado más conocido. Las referencias de probabilidad están bien, pero tengo especial curiosidad por saber si me he perdido algún tratamiento definitivo en alguno de los textos clásicos de análisis.

También siéntase libre de especular, o explicar, por qué tan pocos textos lo mencionan. (¿Existe realmente alguna buena razón para no mencionarlo, cuando al no hacerlo se entrena implícitamente a los estudiantes a pensar que la inyectividad es un ingrediente esencial para este tipo de resultados?) Espero que haya una respuesta más interesante que "la mayoría de los autores no lo mencionan porque los textos de los que aprendieron tampoco lo hacían" o "incluso una frase extra aludiendo a a la posibilidad de un resultado más general es demasiado pedir, ya que el teorema tradicional es bastante difícil de demostrar por sí solo".

(Publicado de forma cruzada en MSE .)

Answer 1

Los mejores textos de cálculo avanzado y análisis multivariable explican explícitamente cómo la hipótesis de que $\varphi$ es inyectiva con $\det D \varphi \neq 0$ puede relajarse para manejar problemas a lo largo de conjuntos de medida cero -- un resultado que es necesario para casi todas las aplicaciones prácticas del teorema, empezando por las coordenadas polares.

Especulo que la mayoría de los autores no van más allá de la condición de inmersión inyectiva porque es suficiente para la mayoría de las aplicaciones prácticas del teorema, siendo las coordenadas polares y esféricas uno de los ejemplos más importantes. La dificultad de formular y demostrar la fórmula de cambio de variables para la integración es desproporcionada con respecto al resto del contenido de un curso de cálculo avanzado, por lo que si se escribe un libro de texto sobre el tema, existe una fuerte tentación de no alejarse demasiado de lo necesario para manejar los ejemplos y aplicaciones básicas. Esto también explica por qué algunos autores se conforman con la suposición de que $\phi$ es un difeomorfismo - si tu objetivo es sólo demostrar el teorema de Stokes, entonces ¿por qué hacerlo más difícil?

Supongo que no estaría de más aludir a versiones más generales del teorema en un comentario entre paréntesis o en un ejercicio ampliado, pero no creo que haya mucho en juego. Los estudiantes universitarios suelen estar acostumbrados a que no se les den los teoremas más generales posibles en sus clases.

Answer 2

Como dice Paul Siegel en su respuesta: La fórmula habitual es suficiente para la mayoría de las aplicaciones prácticas. Yo iría más allá y diría:

La forma simple del teorema del cambio de variables deja mucho más claro que la motivación principal de este teorema es sólo para calcular integrales .

El teorema del cambio de variables es realmente un teorema para trabajar y (por lo que veo) no es algo estructuralmente importante. Comprueba la respuesta de Christian Blatter en MSE para ver a un matemático con años de experiencia que te dice cuántas veces ha utilizado realmente la forma no inyectiva.

Además, la forma simple muestra realmente que el jacobiano es lo crucial aquí y también las pruebas de la forma simple (al menos las que conozco) lo dejan bastante claro. Sin embargo, si quieres demostrar la forma más general, no conozco otra cosa que partir del resultado simple y añadirlo.

Y mi último punto: Como dije arriba, el teorema del cambio de variables es un caballo de batalla para hacer algo, a saber, calcular integrales. Si alguna vez calculas una integral de la forma

$$\int_{\phi(U)}f\cdot\,\text{card}(\phi^{-1})=\int_U(f\circ\phi)\cdot|\det D\phi|$$

¿qué harías tú? Comprobarías para cada punto la frecuencia con la que se alcanza por $\phi$ y se parchearían los resultados juntos (sin tener en cuenta los problemas con los conjuntos nulos) utilizando la forma simple en cada parche. Esto es algo que se le ocurriría a un estudiante por sí mismo. Por lo tanto, la forma general no es en absoluto útil para hacer la misma cosa para la que está pensada la forma simple del teorema. Haciendo un balance entre lo complicada que es la demostración del resultado más general y lo intuitivo y (sobre todo) poco útil que es el resultado en la práctica, parece claro lo que hay que hacer al escribir un libro de texto.