¿Puede caracterizar grupos $G$ de que hay un único subgrupo normal de orden $d$ para cada divisor del orden del $G$? ¿Por ejemplo debe ser solubles?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nota: estoy interpretación de la asunción en $G$ como: por cada $d$ dividiendo $|G|$, el conjunto de subgrupos normales de $G$ orden $d$ tiene un tamaño exactamente $1$.
Dicho grupo debe ser cíclica. Si $G$ es un grupo, entonces para cada uno de los prime $p$ dividiendo $|G|$, no es normal que un Sylow $p$-subgrupo de $G$, que luego es única, por lo $G$ es nilpotent y un producto de sus subgrupos de Sylow.
Ahora vamos a $P$ ser un Sylow $p$-subgrupo de $G$. Desde $P$ es un factor directo de $G$, un subgrupo $H \le P$ es normal en $P$ fib es normal en $G$. Ahora cualquier subgrupo maximal de a $P$ es normal en $P$, por lo tanto normal en $G$, por lo tanto el único (en $G$ o $P$), por lo $P$ tiene un único máximo subgrupo, lo que implica $P$ es cíclico.
Por lo tanto todos los subgrupos de Sylow de $G$ son cíclicos y normal, por lo $G$ es un producto cíclico de los grupos (de relativamente primer orden), por lo tanto es cíclico. Por el contrario, cíclico grupos satisfacen la hipótesis.
Actualización: Ya se ha preguntado en los comentarios, y la prueba es tan simple, permítanme decir por qué $P$ tener una única máxima subgrupo implica $P$ cíclico: si $P$ no es cíclica, sino que tiene un único subgrupo maximal $H$, a continuación, para cada $a \in P$, $\langle a \rangle \subsetneq P$, por lo tanto $a \in H$, pero, a continuación,$P \subseteq H$, contradicción. Esta prueba sólo se necesita que cada apropiado subgrupo está contenida en un subgrupo maximal, el cual tiene por ejemplo, si el grupo es finito.
