Actualmente, estoy estudiando para un análisis escrito qual y llegó a través de la siguiente pregunta:
Deje $m$ el valor de la medida de Lebesgue en $\mathbb R$. Demostrar que el subconjunto $A$ $L^1(m)$ definido por $A := \{f \in L^1(m)\ :\ \int_{\mathbb R} |f|dm \leq 1\}$ es cerrado bajo pointwise convergencia.
Me tomó un enfoque topológico, con el hecho de que $L^1$ es un espacio métrico completo, en virtud de la métrica $\rho(f, g) = \int |f - g|dm$. Como $A$ es la bola cerrada de radio 1 con centro en el $f = 0$, $A$ también está completo. Que además el total de acotamiento implica $A$ es compacto. Así que si $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia en $A$ que converge pointwise a $f$, tiene una larga convergentes en $A$, lo que implica $f \in A$.
Mis preguntas son: 1) ¿esta solución es válida? y 2) ¿existe una medida más enfoque teórico de que funciona? Mi primer instinto fue el uso de Lebesgue convergencia dominada, pero yo no podía llegar con una función dominante.
