Generación de pruebas de inducción a partir de gráficos/integrales

Question

Acabo de encontrar una pregunta en un antiguo examen para llevar a casa,

Demostrar, mediante inducción, que $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} > \frac{3}{2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} $

Entonces me acordé de algo que dijo el profesor sobre su método para plantear estos problemas mirando las gráficas y las integrales (y posiblemente las particiones/sumas inferiores ).

¿Cómo podemos generar pruebas similares por inducción (donde, digamos, los denominadores tienen grado como máximo $= 3$ )?
¿Puede demostrar este método con algún ejemplo?
Creo que estamos buscando desigualdades aquí...

*Nota: No necesito ayuda para demostrar esta desigualdad. *

Answer 1

Esto es sólo una elaboración de la respuesta de Bill.

Dejemos que $f(x)$ sea una función continua, positiva y decreciente, y que $F$ sea una antiderivada de $F$ .

Entonces $f(1)+f(2)+...+f(n) \geq F(n+1)-F(1)$ .

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Una aplicación mucho más interesante es la siguiente, la idea es exactamente la misma:

Dejemos que $f(x)$ sea una función continua, positiva y decreciente, y que $F$ sea una antiderivada de $f$ .

Dejemos que

$$S_n:= f(1)+f(2)+...+f(n)- F(n) \,.$$ $$T_n:= f(1)+f(2)+...+f(n)- F(n+1) \,.$$

Entonces

$$S_1 \geq S_2 \geq S_3 \geq ... \geq S_n ..\geq T_n \geq ...\geq T_1 \,.$$

Esto es básicamente la prueba integral de Cauchy.

Se pueden obtener bonitas desigualdades de inducción simplemente tomando $$S_1 \geq S_n \geq T_n \geq T_1 \,.$$

Pero también puedes usar esto para demostrar que las secuencias son convergentes.

Cada uno de los casos $f(x)=\frac{1}{x} \,;\, f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \,;\, f(x)=\frac{1}{x^2}$ conducen a una famosa secuencia convergente, la primera es mi aplicación favorita... También el caso $f(x)=\frac{1}{x^p}$ te dice algo sobre el $p$ -serie.

Answer 2

$\int_1^n 1/x^2\,dx = 1 - 1/n$

La suma $\sum_{k=1}^{n-1} 1/k^2$ es una aproximación de la regla de la mano izquierda de la integral anterior (utilizando $\Delta x=1$ ). Como esta función es decreciente, la regla de la mano izquierda da una sobreestimación. Por lo tanto, $\sum_{k=1}^{n-1} 1/k^2 > 1-1/n$ . Añadir $1/n^2$ a ambos lados da $\sum_{k=1}^n 1/k^2 > 1-1/n+1/n^2$ .

No estoy del todo seguro de cómo llegar a tu problema en particular, pero imagino que una estimación ligeramente diferente servirá.

Además, si utilizáramos una regla de la mano derecha, podríamos preparar una desigualdad con la suma en el lado menor (ya que la regla de la mano derecha da una subestimación para las funciones decrecientes).

Edición: ¡Perdón por no haber respondido a tu pregunta!

Utilice $\int_1^n 1/x^3\,dx=1-2/n^2$ y así $\sum_{k=1}^{n-1} 1/k^3 > 1-2/n^2$ y por lo tanto $\sum_{k=1}^n 1/k^3 > 1-2/n^2+1/n^3$