Un Grupo abeliano finito cuyo orden es divisible por 10 contiene un elemento de orden 10

Question

Es teniendo en cuenta que el orden de algunos grupo abelian finito es divisible por 10. Demostrar que el grupo tiene un subgrupo cíclico de orden 10.

Está claro que puesto que el orden de grupo es divisible por 10. Inverso al teorema de Lagrange, si 10 divide el orden del grupo G, entonces G tiene un subgrupo de orden 10.

Pero para que este subgrupo sea cíclico.

Answer 1

$G$ tiene un subgrupo de orden #% orden y $2$ #% por el teorema de Cauchy. $5$ Es primer a $2$, el orden del producto de dos generadores de estos grupos es $5$ y entonces genera un subgrupo (cíclico) de $10$ $G$ de la orden.

Answer 2

Sugerencia: If $p$ y $q$ son números primos distintos entonces $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}q\cong \mathbb{Z}{pq}$.

Answer 3

Sugerencia: ¿Qué grupos abelianos de orden 10 puedes pensar?

(Hay sólo uno, hasta isomorfismo).