Un subconjunto cerrado de un grupo algebraico que contiene $e$ y es cerrado bajo la toma de productos es un subgrupo de $G$

Question

Un subconjunto cerrado de un grupo algebraico que contiene $e$ y es cerrado bajo la toma de productos es un subgrupo de $G$ .

Denotemos este conjunto como $X$ . Si la condición de $X$ que se cierra, esta afirmación no es válida. El conjunto de enteros no nulos en $\mathbb{G}_m$ en $\mathbb{C}$ es un contraejemplo.

Basta con demostrar que para cualquier $x \in X$ , $x^{-1}X = X$ . Como $X$ se cierra bajo la toma de productos, está claro que $X \subseteq x^{-1}X$ . Para demostrar la inclusión inversa, es necesario que el cierre de $X$ (en la topología de Zariski).

Dejemos que $\phi: G \rightarrow G, y \mapsto x^{-1}y$ es un homoemorfismo de $G$ como una variedad algebraica. Así que $x^{-1}X = \phi(X)$ es un subconjunto cerrado de $G$ que contiene $X$ . Pero, ¿por qué son iguales?

Muchas gracias.

Answer 1

Como señala David Loeffler, el (intento de) argumento con la conectividad no es válido. Sin embargo, si $x \in X$ entonces $X \supset x X \supset x^2 X \supset \cdots \supset x^n X \supset \cdots$ es una cadena decreciente de subconjuntos cerrados de $G$ que por la inducción noetheriana debe finalmente estabilizarse. Por lo tanto, de hecho $X = x X$ , según se desee.

Answer 2

Considere la posibilidad de un $x\in X$ y el morfismo de multiplicación $m_x:X\to X:y\mapsto xy$ . Basta con demostrar que $m_x$ es suryente, ya que entonces existirá $y\in X$ con $xy=e$ y así $y=x^{-1}$ pertenecerá a $X$ .
Y ahora cuidado con la conclusión:

El endomorfismo $m_x$ es inyectiva, y por tanto suryente, debido al Teorema de Ax-Grothendieck ( o aquí )