si cada colector es idempotente, entonces el anillo es conmutativo

Question

Deje $R$ ser un anillo y para $x,y\!\in\!R$, definir el colector como $[x,y]:=xy-yx$. Una $r\!\in\!R$ es idempotente iff $r^2=r$.

¿Cómo se puede demostrar, que si cada colector es idempotente, entonces, el anillo es conmutativo, es decir, todos los conmutadores son cero?

Answer 1

Esto no responde a la pregunta general, pero un simple caso especial, que me parece lindo:

Supongamos $R$ es un finito dimensionales de álgebra sobre un campo de característica cero. Pick $x$, $y\in R$. Desde $[x,y]$ es un colector, de su acción sobre cada finito dimensionales $R$-módulo de seguimiento de cero; por otro lado, desde la $[x,y]$ es por hipótesis idempotente, su rastro en un módulo es la dimensión de su imagen. De ello se desprende que $[x,y]$ hechos por cero en cada módulo así, porque fiel módulos de hacer existir, debe ser cero.

Más tarde. Considere la posibilidad de la no-conmutativa polinomio $f(x,y)=[x,y]^2-[x,y]$, y definir un nuevo polinomio $h$ por $$h(x,y)=f(x,y)-f(y,x)$$ A simple computation shows that $h(x,y)=2[x,y]$.

Si sustituimos los elementos de $R$ a $f$ nos da cero, por lo que el mismo es cierto de $h$. La observación anterior significa entonces que $2[x,y]=0$ para todos los $x$, $y\in R$. Ahora si $2$ es invertible en a $R$, o al menos no es un divisor de cero, entonces podemos ver que $R$ es conmutativa.

Answer 2

La prueba de "Dos elementales generalizaciones de boolean anillos" AMM Feb.1986: Deje $Z(R):=\{x\!\in\!R;\: \forall y\!\in\!R\!: xy=yx\}$ denotar el centro del ring. Nos damos cuenta de que \begin{equation*} \label{eq:7.1} xy-yx=(xy-yx)^2=(yx-xy)^2=yx-xy. \tag*{(1)} \end{ecuación*} En primer lugar mostramos un lema general, que si $xy\!=\!0$ implica $yx\!=\!0$ $(\ast)$, a continuación, cada idempotente $e$ es central. Para arbitrario $r\!\in\!R$ tenemos $(e^2\!-\!e)r=0=e(er\!-\!r)$ y $(\ast)$ tenemos $0=(er\!-\!r)e=ere\!-\!re$. Del mismo modo, de $r(e^2\!-\!e)=0=(re\!-\!r)e$ $(\ast)$ obtenemos $0=e(re\!-\!r)=ere\!-\!er$. Por lo tanto, $re=ere=er$ lo que demuestra $e\!\in\!Z(R)$.

Lo siguiente que queremos demostrar, que todos los conmutadores son centrales. Esto se deduce del párrafo anterior, debido a la condición de $(\ast)$ mantiene: si $xy=0$, luego $yx$ $=yx-xy$ $=(yx\!-\!xy)^2$ $=(yx)^2$ $=y(xy)x$ $=0$. Hemos demostrado, que \begin{equation*} \label{eq:7.2} \forall x,y\in R:\; xy-yx\in Z(R). \tag*{(2)} \end{ecuación*}

Lo siguiente que queremos demostrar que todos los cuadrados son centrales. Esto podemos obtener a partir de la igualdad $x(xy-yx)$ $\overset{(1)}{=}x(yx-xy)$ $\overset{(2)}{=}(yx-xy)x$, que nos dice que $x^2y=yx^2$ , es decir, \begin{equation*} \label{eq:7.3} \forall x\in R:\; x^2\in Z(R). \tag*{(3)} \end{ecuación*}

Lo siguiente que queremos demostrar, que $(xy)^2=(yx)^2$. Esto podemos conseguir a través de la $(3)$ escrito $yxy$ como una suma de cuadrados: $$(xy)^2 =x(yxy)=x\big((yx)^2+y^2-(yx\!-\!y)^2-y^2x\big)$$ \begin{equation*} \label{eq:7.4} \overset{(3)} {=}\big((yx)^2+y^2-(yx-y)^2-y^2x\big)x=(yxy)x=(yx)^2 \tag*{(4)} \end{ecuación*}

Finalmente, se muestran todos los elementos que son centrales:

$$xy\!-\!yx=(xy\!-\!yx)^2=xy(xy\!-\!yx)\!-\!yx(xy\!-\!yx) \overset{(1)}{=} xy(xy\!-\!yx)\!-\!yx(yx\!-\!xy)$$ $$= (xy)^2\!-\!xy^2x\!-\!(yx)^2\!+\!yx^2y\overset{(4)}{=}-\!xy^2x\!+\!yx^2y \overset{(3)}{=} -\!x^2y^2\!+\!x^2y^2=0$$ Esto completa la prueba.