Estoy tratando de probar la siguiente, pero parece que no puede entender. Puede alguien ayudar?
Demostrar $6^n - 1$ es siempre divisible por $5$$n \geq 1$.
Lo que he hecho:
Caso Base: $n = 1$: $6^1 - 1 = 5$, que es divisible por $5$ tan CIERTO.
Asumir cierto para $n = k$ donde $k \geq 1$: $6^k - 1 = 5P$.
Debe ser cierto para $n = k + 1$
$6^{k + 1} - 1 = 5Q$
$= 6 \cdot 6^k - 1$
Sin embargo, yo no estoy seguro sobre dónde ir desde aquí.
Para $n\geq 1$, vamos a $S(n)$ denotar la declaración de $$ S(n) : 5\mid(6^n-1)\Longleftrightarrow 6^n-1=5 m, m\in\mathbb{Z}. $$ Caso Base ($n=1$): $S(1)$ dice que $5\mid(6^1-1)$, y esto es cierto.
Inductivo paso: Revisión de algunos $k\geq 1$ y asumir que $S(k)$ es cierto cuando $$ S(k) : 5\mid(6^k-1)\Longleftrightarrow 6^k-1=5\ell, \ell\in\mathbb{Z}. $$ Se ha demostrado es que el $S(k+1)$ sigue donde $$ S(k+1) : 5\mid(6^{k+1}-1)\Longleftrightarrow 6^{k+1}-1=5\eta, \eta\in\mathbb{Z}. $$ Comenzando con el lado izquierdo de $S(k+1)$, \begin{align} 6^{k+1} - 1 &= 6^k\cdot 6-1\tag{by definition}\\[0.5em] &= (5\ell+1)\cdot 6-1\tag{by %#%#%, the ind. hyp.}\\[0.5em] &= 6\cdot 5\ell+5\tag{expand}\\[0.5em] &= 5(6\ell+1)\tag{factor out %#%#%}\\[0.5em] &= 5\eta.\tag{%#%#%} \end{align} terminamos en el lado derecho de la $S(k)$, completando el paso inductivo.
Así, por inducción matemática, la declaración de $5$ es cierto para todos $\eta=6\ell+1; \eta\in\mathbb{Z}$. $S(k+1)$
En los comentarios de preguntar acerca de la fuente de la siguiente estándar de la prueba de el paso inductivo $$5\mid 6^k-1\ \Rightarrow\ \color{#c00}5\cdot 6^k +(6^k\!-1)\,=\, \color{#0a0}{6^{k+1}-1}$$
Esta es una pregunta muy natural, ya que tales pruebas a menudo parecen estar sacados de un sombrero, como por arte de magia. Hay, de hecho, una buena explicación general de su origen. Es decir, tales pruebas son simplemente casos especiales de la prueba de la Congruencia de los Productos de la Regla, como se muestra a continuación.
${\bf Claim}\rm\qquad\ 6\equiv 1,\, 6^{k}\!\equiv 1 \Rightarrow\ 6^{k+1}\!\equiv 1\ \ \ \pmod{\!5},\ $ un caso especial de los siguientes
${\bf Lemma}\rm\quad\ \, A\!\equiv a,\, B\!\equiv b\ \Rightarrow\ AB\equiv ab\ \pmod{\!n}\ \ \ $ [Congruencia Producto De La Regla]
${\bf Proof}\ \ \ \rm n\mid A\!-\!a,\,\ B-b\,\Rightarrow\, n\mid ( A\!-\!a) B +a\ (B\!-\!b) =A B\,-\,ab$
$\rm\ \ \ \ e.g.\ \ \ 5\mid\ 6\!-\!1,\,\ 6^{k}\!-\!1\ \Rightarrow\ 5\mid(\color{#c00}{6\!-\!1})\,6^{k}+ 1\,(6^{k}\!\!-\!1) = \color{#0a0}{6^{k+1}\!-1}$
Observe que el estado de la inferencia es precisamente el mismo que dijo el estándar de la prueba de el paso inductivo. Así vemos que esta inferencia es simplemente un caso especial de la prueba de la Congruencia de los Productos de la Regla. Una vez que sabemos de esta regla, no hay necesidad de repetir toda la prueba cada vez que tenemos que utilizar. Más bien, simplemente podemos invocar la regla como un Lexema (en forma de divisibilidad si congruencias aún no son conocidas). A continuación, el paso inductivo ha vivos aritmética de la estructura, siendo el cómputo de un producto $\, 6\cdot 6^{k}\equiv 6^{(k+1)}.\,$ ya No es la innata aritmética estructura ofuscado por los detalles de la prueba ya que la prueba ha sido encapsulada en un Lema para la conveniente reutilizar.
De la misma manera, congruencias a menudo permiten impartir intuitiva aritmética estructura en complicado inductivo pruebas - lo que nos permite reutilizar nuestro perfeccionado grado de la escuela las habilidades de manipulación aritmética de las ecuaciones (vs más complejo de la divisibilidad de las relaciones). A menudo la introducción de congruencia lenguaje servirá para simplificar en gran medida de la inducción, por ejemplo, la reducción de la misma a un trivial de inducción como $\, 1^n\equiv 1,\,$ o $\,(-1)^{2n}\equiv 1.\,$ El primero es la esencia de la cuestión anterior.
Podemos demostrar por inducción que $6^k$ resto $1$ después de la división por $5$.
El caso base $k=1$ (o $k=0$) es sencillo, ya que $6=5\cdot 1+1$.
Ahora supongamos que $6^k$ resto $1$ después de la división por $5$$k\ge 1$. Por lo tanto $6^k = 5\cdot m+1$ algunos $m \in \mathbb{N}$. Luego podemos ver que $$6^{k+1}=6\cdot 6^{k} = (5+1)(5\cdot m +1) = 5^2 \cdot m + 5 + 5\cdot m + 1$$ $$=5(5\cdot m + m + 1) + 1.$$
Por lo tanto $6^{k+1}$ resto $1$ después de la división por $5$.
Por lo tanto, para cada $k$, podemos escribir $6^k = 5\cdot m +1$ algunos $m$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
