No constructiva prueba de que positivos medibles funciones puede ser aproximada por una secuencia de funciones simples?

Question

Deje $f \geq 0$ ser medibles. A continuación,$\exists \ 0 \leq \phi_n \leq f$, un aumento de la secuencia de simples, medibles funciones que $\phi_n \rightarrow f$$n$$+\infty$.

Cada prueba que he visto es el mismo. Todos ellos construir la secuencia de uso de los conjuntos de $E_{n, k} = \{x \in \Bbb R \mid \frac{k}{2^n} \geq f(x) \gt \frac{k-1}{2^n} \}$.

Me preguntaba si alguien sabría no constructiva de la prueba de este teorema. No tiene que ser más fácil o nada.

Answer 1

El constructivo de la prueba en este caso es probablemente mucho más agradable, pero aquí va.

Para cada $n$ el intervalo de $[0, n]$ es compacto, por lo que puede ser cubierto por un conjunto finito de abiertos intervalos de longitud en la mayoría de las $1/n$. Cada cubierta se puede convertir en una partición de $[0,n]$ en los conjuntos de Borel (de longitud en la mayoría de las $1/n$). Elegir una partición para cada $n \in \mathbb{N}$ y llame a esta partición $P_n$. A continuación, vamos a $g_n$ ser el simple medibles de la función:

$$ g_n = \sum_{Un \en P_n} (\inf A) 1_{f^{-1}(A)} $$

por construcción $g_n \leq f$. Y desde cada una de las $A \in P_n$ tiene una longitud en la mayoría de las $1/n$ $P_n$ cubre $[0,n]$ todos los $x$ $f(x) - g_n(x) \leq 1/n$ o $f(x) > n$. Por lo tanto, para cada $x$ : $g_n(x) \to f(x)$ como $n \to \infty$.

Ahora para generar un aumento de la secuencia, tenga en cuenta que tomando el valor absoluto de una función simple de los resultados en una simple función, como lo hace la suma y resta de funciones simples. Por lo tanto, por dos simples funciones de $a,b$

$$ \max(a,b) = b + |a - b| $$

es una función simple. Por extensión máxima de cualquier conjunto finito de funciones simples es una función simple, por lo tanto:

$$ f_n = \max(g_1, \ldots, g_n) $$

forma un aumento de la secuencia de funciones simples, y $g_n \leq f_n \leq f$$f_n \to f$$n \to \infty$.