Demostrar que un subconjunto de un separables conjunto en sí es separable

Question

La declaración del problema, todas las variables y dado/datos conocidos:
Mostrar que si $X$ es un subconjunto de a $M$ $(M,d)$ es separable, entonces $(X,d)$ es separable. [Esto puede ser un poco más complicado de lo que parece - $E$ puede ser una contables subconjunto denso de $M$$X\cap E = \varnothing$.] Definiciones Por nuestro libro:

Un espacio métrico $(M,d)$ es separable si existe una contables denso $E$$M$.

$E$ $M$ es denso si $\forall m\in M$, $\forall ε>0\in\mathbb R$, $\exists e\in E$ s.t. $d(m,e) < ε$

El intento de solución

Mi mejor intento estaba condenado al fracaso desde el principio, porque yo no entiendo muy bien la sugerencia. Mi proceso de pensamiento fue de la siguiente manera:

Desde $X$ es un subconjunto de $M$, $\forall x\in X, x\in M$. Así, desde la $E$ es denso en $M$,

$\forall x\in X$, y ε > 0, $\exists e\in E$ st $d(x,e)<ε $.

En este punto, yo estaba hecho, porque el conjunto de $e$'s de la satisfacción de los anteriores, es un subconjunto de a $E$, un contable establecido. Así que un subconjunto de un contable conjunto es denso en $X$, e $X$ es separable. Esto es incorrecto, pero no puedo ver por qué. Cualquier ayuda aclarar la confusión sería muy apreciada. Gracias!

Edit: me gustaría poder upvote a todos por su ayuda! Realmente agradezco la celeridad de las respuestas y los intentos de hacer que esta información sea clara para mí.

Answer 1

Tenga en cuenta que es muy importante aquí, que está trabajando en un espacio métrico, ya que la declaración no es verdadera en espacios topológicos en general.

Puesto que X es un subconjunto de M, $\forall x\in X, x\in M$. Por lo tanto, puesto que M es denso en E,

$\forall x\in X$, y ε > 0, $\exists e\in E$ st $d(x,e)<ε $.

'Desde $M$ es denso en $E$' no tiene sentido. En primer lugar, usted nunca se define $E$. Puedo adivinar que se supone que debe de ser una contables subconjunto denso de $M$, pero luego de su declaración es justo al revés: $E$ es denso en $M$. En cualquier caso, la búsqueda de puntos de $E$ cerca de $x$ no ayuda a mostrar que $X$ es separable: para mostrar que usted tiene que encontrar una contables subconjunto de $X$ que es denso en $X$, e $E$ podría ser completamente distinto de $X$. Para un ejemplo concreto de esta posibilidad, vamos a $M=\Bbb R$ con la métrica usual, y deje $X$ el conjunto de los números irracionales. Sabemos que $\Bbb R$ es separable, porque $\Bbb Q$ es una contables subconjunto denso de $\Bbb R$. El teorema de que estás a demostrar dice que $X$ también es separable, es decir, que hay algunas contables set $D$ de los números irracionales es denso en $X$, pero $D$ ciertamente no puede ser $\Bbb Q$, nuestro familiar contables denso conjunto de reales: ningún miembro de $\Bbb Q$ es incluso en $X$.

Una manera de demostrar que el teorema es para demostrar que si $E$ es una contables subconjunto denso de $M$, luego $$\mathscr{B}=\{B(e,r):e\in E\text{ and }0<r\in\Bbb Q\}$$ is a base for $M$, meaning that if $x\in M$, and $U$ is an open set containing $x$, then there is some $B(e,r)\in\mathscr{B}$ such that $x\in B(e,r)\subseteq U$. Note that $\mathscr{B}$ is a countable family of open balls. Then let $$\mathscr{B}_0=\{B\cap X:B\in\mathscr{B}\text{ and }B\cap X\ne\varnothing\}\;,$$ and show that $\mathscr{B}_0$ is a base for $X$. Since $\mathscr{B}$ is countable, so is $\mathscr{B}_0$. Finally, for each $B\in\mathscr{B}_0$ pick one point $x_B\en B$, and let $D=\{x_B:B\in\mathscr{B}_0\}$; $D$ is countable, and it's not too hard to show that it's dense in $X$ and hence that $$ X es separable.

Answer 2

EDIT: Solucionado un error.

Aquí es un poco diferente de respuesta, aunque, por supuesto, básicamente equivalente a la de los otros dos.

$X$ es un subconjunto de $M$. $E$ es una contables subconjunto denso de $M$. Nos gustaría encontrar una contables subconjunto denso de $X$.

El problema, como los discutidos en los comentarios de arriba, es que nos gustaría usar $E$ como nuestro contables subconjunto denso de $X$, pero los puntos de $E$ puede que en realidad no pertenecen a $X$.

Así que una cosa que podemos hacer es esto: Cada punto de $e$ $E$ tiene cierta distancia $$ d(e, X) = \inf\{ d(e, x) : x\in X\} $$ es decir, cuán lejos está el conjunto $X$.

Para cada $e$$E$, elija los puntos de $a_n$$X$, cuya distancia de la $e$ es decir, menos de $d(e,X) + 1/n$. (No puede ser capaz de obtener la $a$ exactamente distancia$d(e,X)$$e$, pero puedo conseguir cerrar.)

Ahora, vamos a $A$ ser el conjunto de todos los $a_n$ que hice, countably muchos de cada una de las $e$$E$. (Bueno, algunos $a_n$ puede pertenecer a varios $e$'s, pero para qué.) $A$ $X$ , por definición, y $A$ es contable, como $E$ (contables de la unión de conjuntos contables es contable).

Así que sólo tiene que demostrar que $A$ es denso en $X$. Deje $x$ ser cualquier punto de $X$, y tomar las $\epsilon>0$. A continuación, hay algunos $e\in E$ dentro $\epsilon/3$$x$, es decir,$d(x,e)<\epsilon/3$. Eso significa que $d(e, X)\leq \epsilon/3$, por lo que hay algunos $a\in A$ tal que $$ d(e,a) < d(e,X) + \epsilon/3 \leq 2\epsilon/3. $$

Así $$ d(x,a) \leq d(x,e) + d(e,a) < \epsilon/3 + 2\epsilon/3 = \epsilon. $$

Por lo $A$ es denso en $X$.

Answer 3

Sugerencia (para una prueba de estrategia): Mostrar que $(M,d)$ es segundo contable, es decir, hay una contables de la colección de $\mathcal B = \{U_n : n \in \omega\}$ de abrir conjuntos de $M$ de manera tal que cualquier conjunto abierto $U$ $M$ puede ser escrito como una unión de elementos de $\mathcal B$. A continuación, mostrar que ese $X$ también es segundo contable. Y, finalmente, muestran que el segundo contables implica separables.

Answer 4

Esta respondida aquí , que es el enfoque en el que Brian M. Scott respuesta.

Ya que señaló que no está acostumbrado a los términos utilizados, y que esto vino de un curso de matemáticas para economistas, voy a tratar de dar una respuesta usando las definiciones que usted proporcionó.

En primer lugar, como un consejo, cuando se le pide a prueba de algo, al menos al principio, es mejor buscar en las definiciones y escribe lo que tiene que ser para el objeto que se supone que probar cosas acerca de.

En este caso, deberá demostrar que $(X,d)$ es separable.

¿Qué es $(X,d)$? Es la métrica del espacio formado por el subconjunto $X$$M$, en el cual medimos las distancias, al igual que nosotros en $M$.

Lo que tiene que demostrar acerca de $(X,d)$? Usted tiene que demostrar que existe una contables subconjunto $E$ $X$ tal que $E$ es denso en $X$.

Pero usted sabe que $(M,d)$ es separable, por lo que existe una contables subconjunto $D$$M$, decir $$D = \{x_1,x_2,x_3,\ldots\},$$ que es denso en $M$.

Ahora, vamos a enumerar los racionales positivos como $$\Bbb Q \cap (0,\infty) = \{r_1,r_2,r_3,\ldots\}.$$

Definir $$\Delta = \{(i,j) : B(x_i,r_j)\cap X\neq\emptyset\}.$$ $\Delta$ is not empty because otherwise $D$ is not dense in $M$.

A continuación, para cada una de las $(i,j)\in\Delta$ hay un $e_{(i,j)}\in B(x_i,r_j)\cap X$. Definir, a continuación, $$E = \{e_{(i,j)}: (i,j)\in \Delta\}.$$

Esta $E$ es una contables subconjunto denso de $X$, por lo que estamos por hacer.

Si esta última afirmación no es clara, hágamelo saber y voy a elaborar sobre ella.

Editar , de Hecho, Vamos a $x\in X$$\epsilon\gt 0$. Hay un $r_j$ tal que $r_j\lt \epsilon/2$. Desde $D$ es denso en $M$ hay $x_i\in D$ tal que $d(x,x_i)\lt r_j$. Por lo tanto $x$ $e_{(i,j)}$ son elementos de la bola de $B(x_i,r_j)$, por lo tanto $$d(x,e_{(i,j)})\leq d(x,x_i) + d(x_i,e_{(i,j)}) = 2r_j \lt \epsilon.$$