El ejemplo en cuestión es de Rick Durrett "Elementrary Probabilidad de Aplicaciones", y la instalación es algo como esto:
Deje $A$ ser el caso de "Alice y Betty tienen el mismo cumpleaños", $B$ ser el caso de "Betty y Carol tienen el mismo cumpleaños", y $C$ ser el caso de "Carol y Alice tienen el mismo cumpleaños".
Durrett va a demostrar que cada par es independiente, ya que por ejemplo,
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
Sin embargo, concluye que $A, B$, e $C$ no son independientes, ya que
$P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{365^2} \neq \frac{1}{365^3} = P(A)P(B)P(C)$.
Entiendo el razonamiento aquí, y que uno puede, generalmente, muestran que los acontecimientos arbitrarios $X$ $Y$ no son independientes mostrando que $P(X\cap Y) \neq P(X)P(Y)$.
Soy un poco nuevo para la probabilidad, sin embargo, y no entiendo por qué exactamente $P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{365^2}$.
Mi progreso hasta ahora:
Yo veo porqué $P(A) = P(B) =P(C) = \frac{1}{365}$, y así, por $P(A)P(B)P(C) = \frac{1}{365^3}$.
Parece que el espacio muestral $\Omega = \{ (a, b, c) \mid a,b,c \in [365] \}$, es decir, todas las posibles ternas de números de 1 a 365, donde 1 denota el 1 de enero, 2 denota el 2 de enero, etc. A partir de eso, puedo concluir $|\Omega| = 365^3$, pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí.
Parece que una vez que un solo cumpleaños es el elegido, el resto son completamente determinado si son todos iguales el uno al otro - es esta una buena dirección a seguir?
