Es de matemáticas realizado en cualquier modelo de ZFC?

Question

El seguimiento de un hilo anterior que he publicado, he tratado de perfeccionar mis preguntas. Yo sería feliz con respuestas simplemente confirmando que he entendido correctamente las cosas, pero por supuesto, yo también estaría encantado de leer más y más elaboradas respuestas!

Supongamos que quiero ZFC (tal como se formuló en la lógica de primer orden) para ser mi fundamentos de la matemática, es decir, quiero que sea posible la formalización de todos los de mi razonamiento sobre, por ejemplo, la teoría de números como de las consecuencias de la lógica de primer orden de los axiomas de ZFC.

Estas son mis preguntas:

1. Cuando pienso en un "conjunto", por ejemplo,$\mathbb{N}$, cuando se hace de las matemáticas, es razonable a la vista de $\mathbb{N}$ como vivir en un modelo de ZFC? Así que si yo quería ser muy pedante, me remito a $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}^\mathcal{A}$ donde $\mathcal{A}$ mi fijo modelo de ZFC?

2. Supongamos que yo estoy haciendo las matemáticas y la discusión de las propiedades de $\mathbb{N}$ con un amigo mío. Puede cualquiera de los "problemas" que surgen de mí (implícitamente) el pensamiento de $\mathbb{N}$ como $\mathbb{N}^\mathcal{A}$ viven en mi ZFC-modelo de $\mathcal{A}$, mientras que mi amigo piensa que de $\mathbb{N}$ como $\mathbb{N}^\mathcal{B}$ donde $\mathcal{B}$ es su ZFC-modelo? Supongo que desde todos los supuestos que hemos hecho acerca de la $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ es que son ZFC-modelos, no "sustancial" que pueden surgir problemas, así que mi amigo y yo por lo tanto puede de manera segura de acuerdo a la facilidad de notación refiriéndose a $\mathbb{N}^\mathcal{A}$ $\mathbb{N}^\mathcal{B}$ simplemente como $\mathbb{N}$?

3. Dado que mi comprensión de las preguntas anteriores es correcta, parece razonable a la vista de las matemáticas en una "semántica" camino "que se realiza en cualquier modelo de ZFC"? Alternativamente, si insisto en la lógica de primer orden ZFC a ser mi fundaciones, podía ver haciendo de las matemáticas como una especie de informal deducción natural, es decir, yo podría tener un "sintáctica" punto de vista de las matemáticas. La solidez y la integridad teoremas de garantizar que la "semántica" y "sintáctica" vistas en cierto sentido son el mismo, pero quizás uno de los enfoques tiene algo de filosófico ventajas? Yo, obviamente, encontrar la semántica de vista más agradable, ya que la semántica de vista es "coherente" con mi punto de vista de un conjuntos como los que viven en los modelos de ZFC...

Gracias de antemano!

Editar:

Me doy cuenta de que tal vez "el modelo de ZFC" que podría ser relevante para mis preguntas. Que es, tal vez debería ver $\mathbb{N}$ como siempre refiriéndose específicamente a $\mathbb{N}^\mathcal{S}$ donde $\mathcal{S}$ indica el modelo estándar de ZFC? Del mismo modo, tal vez debería ver las matemáticas como ser realizado específicamente en el modelo estándar de ZFC. Si hacemos caso omiso de los problemas, incluso con la definición de cuál es el modelo de ZFC es el estándar, este punto de vista parece que también nos da problemas con la traducción de nuestros informal pruebas matemáticas para deducción natural: Si la matemática se hace en una forma muy específica el modelo de ZFC, ya no podemos confiar en la integridad de la lógica de primer orden para garantizar la existencia de una deducción en deducción natural.

Para resumir mi edit: Si el modelo estándar de ZFC es relevante a mis preguntas, por favor, cómo iluminar. No creo que el modelo estándar es relevante para mis preguntas en cualquier otra forma de ser un "intuitiva modelo de" cuando el pensamiento de ZFC.

Answer 1

Moderno matemáticas evita peligros como Russel paradoja por supuesto

Existe un modelo de ZFC

Dado a este modelo podemos construir otros modelos con diferentes propiedades. Por ejemplo, podemos construir un modelo de $\mathcal A$ donde la Continuidad Hipótesis sostiene y otro$\mathcal B$, donde no se espera. Así que si están haciendo matemáticas sobre $\mathcal A$ y tu amigo está haciendo matemáticas sobre $\mathcal B$ es cierto para usted que $\aleph_1= 2^{\aleph_0}$, pero no para su amigo.

La solución es, en lugar de imaginar que usted está trabajando a través de un elegido de forma arbitraria modelo, imagínese que usted está trabajando a través de TODOS los modelos de ZFC a la vez. Cuando usted dice $1+1=2$ no significa $1^\mathcal A+1^\mathcal A=2^\mathcal A$ para tu modelo favorita $\mathcal A$. Te refieres a $1^\mathcal A+1^\mathcal A=2^\mathcal A$ para cada modelo de $\mathcal A$.

Un enfoque alternativo sería tratar y definir un modelo estándar como uno que obedece a todos los axiomas de ZFC y no tiene frases que se podrían añadir como axiomas, y hacer matemáticas no. Esto evita el continuo problema de arriba. Sin embargo es imposible, ya que podemos tomar cualquier no-axioma de la sentencia de $P$. Cualquiera de las $P$ o $\neg P$ celebrará en el modelo. Por lo tanto, es también un modelo de $ZFC + P$ o $ZFC + \neg P$.

Otra alternativa sería la de intentar encontrar un modelo de un mínimo de alguna manera tomar la intersección de todos los modelos posibles. Esto no se puede hacer como nuestro último supuesto de no asumir que existe un espacio más grande donde todos los modelos coexisten.