En $[G:Z(G)] =n \implies x \mapsto x^{n}$ ¿un homomorfismo de grupo?

Question

Sea $G$ sea un grupo finito, y sea $Z(G)$ denota el centro de $G$ . Es un resultado conocido que si $G/Z(G)$ es cíclico, entonces $G$ es abeliano. Así vemos que si $|G|/|Z(G)|=p$ donde $p$ es un primo, entonces $G$ se convierte en un grupo abeliano y, por tanto, el mapa $f: G \to G$ definido por $f(x)=x^{p}$ es un homomorfismo de grupo.

¿Puede generalizarse la pregunta para cualquier número entero positivo $n$ ? Así es:

• Si $|G|/|Z(G)|=n$ entonces implica que el mapa $f: G \to G$ definido por $f(x)=x^{n}$ ¿es un homomorfismo de grupo?

Answer 1

Sí, es precisamente el homomorfismo de transferencia $G \to Z(G)$ . Esto se afirma explícitamente como Corolario 7.48 en el libro de Rotman "An Introduction to the Theory of Groups".