COMPLETAS PARA LA EDAD

Question

Es bastante recta hacia adelante para demostrar que $L_p$ para $p\geqslant 1$, pero estoy teniendo problemas para mostrar la misma cosa al $p<1$. Para el caso anterior me han demostrado que cada absolutamente convergente secuencia converge por la construcción de una función en $L_p$, pero mayor que la de la serie y se utiliza el teorema de convergencia dominada (yo también puedo hacer una cosa similar utilizando secuencias de Cauchy en lugar de absolutamente convergente la serie). El problema es que en mostrar que mi cota superior de la función es un elemento de $L_p$ he utilizado el triángulo de la desigualdad que no puedo hacer por $p<1$. ¿Alguien tiene alguna idea de alguna forma de evitar esto?

Me di cuenta de que hay preguntas similares a esta, pero que no han sido contestadas o cerrado.

Answer 1

Deje $0<p<1$ fijo. Deje $\{f_n\}$ una secuencia de Cauchy para $$d(f,g):=\int |f-g|^pd\mu.$$ Es una métrica, como la concavidad de $t\mapsto t^p$ $\Bbb R_{\geqslant 0}$ nos ayuda a mostrar que $(a+b)^p\leq a^p+b^p$ al $a$ $b$ son no-negativos de los números reales.

Extraemos una larga $\{g_k\}:=\{f_{n_k}\}$ tal que $d(g_{k+1},g_k) \leqslant 2^{-k}$. Deje $A_k:=\{x,|g_{k+1}(x)-g_k(x)|\geqslant 2^{-k}\}$. Entonces $$2^{-kp}\mu(A_k)\leqslant \int |g_{k+1}-g_k|^pd\mu\leqslant 2^{-k},$$ por lo $\mu(A_k)\leqslant 2^{-k(1-p)}$. Como $1-p>0$, un Borel-Cantelli como argumento muestra que el $\mu(\limsup_{k\to+\infty} A_k)=0$. Así que, para casi todos los $x$, podemos encontrar $K(x)$ tal que para $k\geq K(x)$, $|g_{k+1}(x)-g_k(x)|\leqslant 2^{-k}$. Deje $g(x):=\lim_{k\to +\infty}g_k(x)$.

El uso de Fatou del lema, podemos ver que $g\in L^p$$d(g,g_n)\to 0$.

Ahora fix $\varepsilon>0$, $N$ tal que $d(f_n,f_m)\leqslant\varepsilon$ $d(g_n,g)\leqslant\varepsilon$ siempre $m,n\geqslant N$. Si $k\geqslant N$, $n_k\geqslant N$ así $$d(f_k,g)\leqslant d(f_k,g_k)+d(g_k,g)\leqslant 2\varepsilon.$$

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Tenga en cuenta que esto funciona sin supuestos en que la medida del espacio en el que estamos trabajando, salvo que la medida es no negativo.