¿Cuándo $X^\star$ separar los puntos de $X$ ?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach separable e infinitamente dimensional. ¿Es $X^\star$ (el conjunto de funciones lineales complejas acotadas) separan los puntos de $X$ ? (es decir, para cada dos vectores $x,y\in X$ hay algo de $\phi \in X^\star$ tal que $\phi(x)\neq\phi(y)$ ). ¿Qué pasa si $X$ no es un espacio de Banach y es sólo un espacio de Fréchet?

Answer 1

Sí, el doble $X^*$ de cada espacio de Banach $X$ separa los puntos de $X$ . Esto es una consecuencia inmediata del teorema de Hahn-Banch. Se puede encontrar una demostración en todos los cursos de introducción al análisis fuccional. Además, el teorema de Hahn-Banach se cumple en espacios localmente convexos. Por tanto, la afirmación también es cierta para los espacios de Fréchet.