Deje $M_n$ $F_n$ medibles martingala donde $F_n$ son de la familia de aumento de la sub sigma campos. Deje $D_n = M_{n}-M_{n-1}$, para $n\geq 2$., $a_k \leq D_k\leq b_k$. Entonces me tiene que demostrar que para todos los $t > 0$ $$P\left(\max_{1\leq k \leq n}|M_k| \ge t \right) \leq 2\exp{\left(\frac{-2t^2}{\sum_{k\leq n}(b_k -a_k)^2}\right)}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Nos deja denotar por $\mathbb E_B$ el (condicional) expectativa con respecto a $\mathbb P_B$. Tenemos para cada una de las $k\geqslant 2$ y cada una de las $G\in \mathcal F_{k-1}$, \begin{align} \mathbb E_B\left[\mathbf 1_G\mathbb E_B\left[M_k\mid\mathcal F_{k-1}\right]\right]&=\mathbb E_B\left[\mathbf 1_GM_k\right] &\mbox{by definition of conditional expectation}\\ &=\mathbb E\left[\mathbf 1_{B\cap G}M_k\right]/\mathbb P(B)&\mbox{by definition of }\mathbb P_B\\ &=\mathbb E\left[\mathbf 1_{B\cap G}\mathbb E\left[M_k\mid\mathcal F_{k-1}\right]\right]/\mathbb P(B)&\mbox{because }B\in \mathcal F_1\subset\mathcal F_{k-1}\mbox{ hence }B\cap G\in \mathcal F_{k-1}\\ &=\mathbb E\left[\mathbf 1_{B\cap G}M_{k-1}\right]/\mathbb P(B)&\mbox{because }\left(M_n,\mathcal F_n\right)_{n\geqslant 1} \mbox{ is a martingale for }\mathbb P\\ &= \mathbb E_B\left[\mathbf 1_{G}M_{k-1}\right]&\mbox{by definition of }\mathbb P_B. \end{align} Esto prueba de que $\mathbb E_B\left[M_k\mid\mathcal F_{k-1}\right]=M_{k-1}$, por lo tanto podemos aplicar la no-condicional Azuma-la desigualdad de Hoeffding.
