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Demostrar KNK×NKNK×N si KN={e}

Vamos K, N ser normal subgrupos en G. Me gustaría mostrar que si KN={e},KNK×N.

Mi idea original era invocar el primer teorema de Isomorfismo. Por lo tanto, tendría que encontrar una adecuada asignación de φ cuyo núcleo es {e}.

En un ejercicio anterior, me mostró, de nuevo por el primer teorema de Isomorfismo que

KNKNKNN×KNK

por lo tanto, si KN={e}, me acaba de demostrar que los KNN=KKNK=N. Por lo tanto, mi idea era demostrar que bajo la condición de que la intersección de a K N que elementos en KN pueden viajar libremente. Sabemos que KN=NK, pero esto no implica conmutatividad, solo que si knKN, kn=nk n no necesariamente es igual a n y aquellos con los k. Yo simplemente no puede venir para arriba con un conmutatividad de la prueba.

EDIT: se me olvidó definir KN={kn|kK,nN}.

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user Puntos 2963

Para mostrar que KN/NK, el uso de un teorema de isomorfismo. Tomar el mapa φ:KNK,knk

Para verificar que esta bien definido, aviso que

kn=knk1k=nn1k=k and n=n Es claramente un homomorphism, y su núcleo es exactamente N.

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