Demostrar $KN\cong K\times N$ si $K\cap N=\{e\}$

Question

Vamos $K$, $N$ ser normal subgrupos en $G$. Me gustaría mostrar que si $K\cap N=\{e\}$,$KN\cong K\times N$.

Mi idea original era invocar el primer teorema de Isomorfismo. Por lo tanto, tendría que encontrar una adecuada asignación de $\varphi$ cuyo núcleo es $\{e\}$.

En un ejercicio anterior, me mostró, de nuevo por el primer teorema de Isomorfismo que

$$\frac{KN}{K\cap N}\cong\frac{KN}{N}\times\frac{KN}{K}$$

por lo tanto, si $K\cap N=\{e\}, $ me acaba de demostrar que los $\frac{KN}{N}=K$$\frac{KN}{K}=N$. Por lo tanto, mi idea era demostrar que bajo la condición de que la intersección de a $K$ $N$ que elementos en $KN$ pueden viajar libremente. Sabemos que $KN=NK$, pero esto no implica conmutatividad, solo que si $kn\in KN$, $kn=n'k'$ $n$ no necesariamente es igual a $n'$ y aquellos con los $k$. Yo simplemente no puede venir para arriba con un conmutatividad de la prueba.

EDIT: se me olvidó definir $KN=\{kn|k\in K, n\in N\}$.

Answer 1

Para mostrar que $KN / N \cong K$, el uso de un teorema de isomorfismo. Tomar el mapa $$\varphi : KN \to K, \quad kn \to k$$

Para verificar que esta bien definido, aviso que

$$kn = k'n' \iff k'^{-1}k = n'n^{-1} \iff k = k' \text{ and } n' = n$$ Es claramente un homomorphism, y su núcleo es exactamente $N$.