Encontrar el ángulo dentro del triángulo isósceles

Question

Por favor, ayuda. He intentado encontrar la respuesta pero no he podido. He intentado hacer un dibujo y medir el ángulo. Da la respuesta $\theta = 25^\circ$ pero no sé cómo hacerlo.

Gracias

Answer 1

La pregunta no está incompleta.

Si dividimos $\angle PBC$ en $5^\circ$ y $30^\circ$ como en la figura, $PB$ se convierte en bisectriz del ángulo de $\Delta ABR$ . Ahora, fíjate que $\angle BRP = 60^\circ$ . También hay que tener en cuenta que desde $\Delta BRC$ es también isósceles, el segmento de línea $AR$ divide $\angle BAC$ igualmente. Así que $\angle RAC = 50^\circ$ y desde allí, $\angle ARP = 60^\circ$ . Ahora bien, fíjate en que $PR$ es también bisectriz del ángulo de $\Delta ABR$ . Dado que dos bisectrices de ángulos de $\Delta ABR$ se cruza en $P$ El tercero debe pasar por $P$ también. Por lo tanto, $AP$ es la tercera bisectriz del ángulo y $\angle PAR = \theta$ . Así que tenemos $2\theta = 50 \implies \theta = 25^\circ$ .

EDITAR: Demostración de la afirmación "Si dos bisectrices de ángulos se cruzan en el punto $P$ entonces la tercera bisectriz del ángulo también pasa por $P$ ":

Supongamos que sabemos que $BP$ y $CP$ son bisectrices de ángulos de $\Delta ABC$ . Entonces dibujemos segmentos de línea perpendicular $PD$ , $PE$ y $PF$ . Ahora bien, fíjate en que $\Delta BFP \cong \Delta BDP$ ya que tienen los mismos ángulos y comparten la hipotenusa $BP$ (esto significa que sus hipotenus son iguales). Por lo tanto, tenemos $|PD| = |PF|$ . Con un argumento similar, $\Delta CDP \cong \Delta CEP$ así que $|PD| = |PE|$ . Así que tenemos $|PD| = |PE| = |PF|$ . Ahora bien, como $|PE| = |PF|$ y $\Delta AFP$ y $\Delta AEP$ comparte la hipotenusa, tenemos $|AF| = |AE|$ por el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto, también tenemos $\Delta AFP \cong \Delta AEP$ , lo que implica $\angle FAP = \angle PAE$ .

Me alegro de que hayas pedido una prueba porque pensaba que la prueba podía venir de círculo inscrito pero ahora me he dado cuenta de que no podemos saber si $P$ es el centro de la circunferencia inscrita o no sólo conociendo dos bisectrices de ángulos insersos en $P$ directamente (se puede derivar como en lo siguiente pero no es obvio al principio). Si utilizamos el argumento anterior, podemos concluir que $P$ es el centro de la circunferencia inscrita mediante la ecuación $|PD| = |PE| = |PF| = r$ donde $r$ es el radio del círculo inscrito. Así que mi insinuación cuando pediste por primera vez una prueba era resultado de este argumento pero no era del todo correcta, lo admito.