centralizadores en hiperbólico colectores son cíclicos

Question

Estoy teniendo problemas para ver por qué esta afirmación es verdadera: "Si S admite una métrica hiperbólica, a continuación, el centralizador de no trivial elemento de $\pi(S)$ es cíclico. En particular, $\pi(S)$ ha trivial centro".

Esto está en la página 23 de la Asignación de los Grupos de la Clase por Farb, Margalit.

He visto algunos argumentos en línea que hacer esto de forma explícita mediante un listado de los posibles elementos de $\pi_1(S)$ como cubierta de transformaciones en $H^2$, que abarca el espacio de $S$. Sin embargo, el libro en el que estoy usando parece tener una calidad diferentes. El argumento que da es que si $a$ es centralizada por $b$, $a, b$ tienen los mismos puntos fijos, ya que entiendo que en su mayoría. A continuación, los autores afirman que, dado que la acción de la $\pi_1(S)$ $S$ es discreto, entonces el centralizador de $a$ $\pi_1(S)$ es infinito cíclico. Entiendo que la acción es discreto, pero no entiendo por qué esto implica que el centralizador debería ser infinito cíclico...

Además, entiendo que si $S$ tenía no trivial centro, a continuación,$\pi_1(S) = Center(\alpha) = \mathbb{Z}$. A continuación, el libro afirma que esto implica que $S$ tiene una infinidad de volumen, lo cual es una contradicción. Pero yo no entiendo por qué $\pi_1(S)= \mathbb{Z}$ implica que el $S$ tiene volumen infinito...

Answer 1

Desde $a$ $b$ tienen los mismos puntos fijos, cualquiera que ambas corresponden a isometrías hiperbólicas (si hay dos puntos fijos) o corresponden a los elementos parabólicos (si es que hay un punto fijo).

Supongamos $a$ es parabólico, por lo que el centralizador se compone de los elementos parabólicos, que fijan el mismo punto de $p$ sobre el límite de $H^2$. En una mitad superior del espacio modelo con $p$ al infinito, estos los elementos parabólicos aspecto Euclidiana traducciones. Desde el centralizador es discreto, hay un menor de traducción. Esta traducción va a generar el centralizador.

Si $a$ es hiperbólica, a continuación, el centralizador es un grupo de hiperbólico traducciones que conservan una geodésica en $H^2$ y actuar como una traducción en este geodésica. De nuevo, desde el centralizador es discreto, hay un elemento que se traduce en la geodésica una distancia más corta. Este elemento va a generar el centralizador.

Ahora si $\pi_1(S)$ es cíclico, entonces es generado por un elemento parabólico o generados por una hiperbólica elemento. En cualquier caso fundamental el dominio de la acción de $\pi_1(S)$ $H^2$ tendrá infinitas área. Piensa en qué es lo fundamental de dominio se verá como en una mitad superior del espacio modelo. En el caso parabólico, va a ser una región entre dos "vertical" geodesics. En el caso hiperbólico será la región entre dos "concéntricos" geodesics. En cualquier caso, contendrá la mitad de un Euclidiana disco centrado en un punto en el límite de $H^2$ y esto ha infinito hiperbólico de la zona.