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¿cuáles son el producto y subproducto en la categoría de grupos topológicos

Conozco los límites en las categorías de grupos, abelian grupos y espacios topológicos y se preguntó acerca de la misma cosa.

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Jeff Puntos 804

El producto topológico de los grupos es simplemente el producto de la base de grupos con el producto de la topología. El universal propiedad se comprueba fácilmente. El subproducto de la topología es más complicado. De nuevo, el grupo subyacente es sólo el subproducto de la base de grupos, que también se llama el producto libre. Aquí está una descripción de la topología:

Deje $(G_i) (i \in I)$ nuestra familia de grupos topológicos. A continuación, considere la clase de todos los grupos topológicos $H$, de tal forma que hay un surjective grupo homomorphism $G:=\coprod_{i \in I} G_i \to H$, de tal manera que los composites $G_i \to H$ son continuas. Aviso de que esta clase es esencialmente un conjunto. Es decir, considerar el conjunto de todos los grupos cociente $G / N$ considera dotado de una topología. En particular, podemos definir la topología en $G$ a ser la inicial de uno con respecto a todos los mapas de $G \to H$ anterior. A continuación, $G$ es un grupo topológico. Por ejemplo, la inversión mapa de $G \to G$ es continua ya que el compuesto con todos los $G \to H$ como es arriba es el compuesto con $G \to H$ y la inversión mapa de $H \to H$. El universal propiedad también es fácil de comprobar.

Esto funciona en general: Si $\tau$ es algún tipo de estructuras algebraicas, entonces la categoría de topológico $\tau$-álgebras es completa y cocomplete, y el olvido functor a $\tau$-álgebras de conserva y crea límites y colimits. También se puede demostrar mediante la aplicación de Freyd del representabilty teorema. En el ejemplo anterior, he escrito un conjunto de soluciones.

Sin embargo, es difícil describir esta topología explícitamente (y así, por ejemplo, demostrando la separación de los axiomas). Ver por ejemplo este o ese artículo.

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Tsundoku Puntos 1953

@Martin: @Agusti Acaba de venir a través de su respuesta, Martin, que ha señalado acertadamente el uso de Freyd de representatividad para obtener un resultado general. De hecho, este fue utilizado en esencia en el papel

R. Brown y J. P. L. Hardy, `Topológico groupoids I: universal construcciones", de Matemáticas. Nachr. 71 (1976) 273-286.

para dar colimits de topológico groupoids, y así, en particular, grupos topológicos.

Como dices, es difícil de conseguir de las propiedades específicas de esta topología; la construcción se define por la universalidad de sus bienes, y que es de todos.

Sin embargo, en el caso de la libre topológicos, grupos, hay algunos muy específicos de la exploración de las propiedades, con trabajos de Markov, Graev, y S. A. Morris, P. Nickolas.

Aquí hay dos documentos que deben ser relevantes para la discusión:

Nickolas, Pedro, Co-productos de abelian grupos topológicos. Topología De Appl. 120 (2002), no. 3, 403-426.

Nicolás, san Pedro, Kurosh subgrupo teorema de grupos topológicos. Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3) 42 (1981), no. 3, 461-477.

Otra manera de lidiar con este problema es trabajar en un conveniente categoría de espacios, generalmente de la categoría de forma compacta generado espacios, en los que el producto de la identificación de los mapas es una identificación del mapa.

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