La concentración de la desigualdad de independientes idénticamente distribuidas variables

Question

Deje $x_1,..., x_n$ ser independientes idénticamente distribuidas variables, con los medios de $M$ y las varianzas de las $V$. Deje $$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.$$

Entonces, podemos decir que:

$$\mathbb{P}(|\bar{x}-M|>\varepsilon)\leq\frac{V}{n\varepsilon^2}. $$

Es esta obligado afilado para estas condiciones? Si es cierto puede que sugerencia me de un ejemplo que muestra que no puede ser más estrictos?

Gracias!

Answer 1

Definir $V$ como en la pregunta, y asumir la $V<\infty$. Entonces como $n\to\infty$, $$ \Pr\left(a < \frac{\sqrt{n}(\bar x-M)}{\sqrt{V}} < b\right) \\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-x^2/2} \, dx = \int_a^b \varphi(x)\,dx. $$ Así $$ \Pr\left(|\bar x-M|>\varepsilon \right) \cong 2\int_{\varepsilon\sqrt{n/V\,{}}}^\infty \varphi(x)\,dx. $$

Así que ahora me gustaría ver si puedo probar que la última integral es menos de $\dfrac{V}{2n\varepsilon^2}$.

Nota posterior: al Parecer es algo más delicado de lo que las dos últimas frases asumir. Tal vez voy a estar de vuelta más tarde . . . . . .