$\neg \textsf{AC}+ \neg\textsf{CH}$

Question

1. Hay algunos interesantes\resultados sorprendentes que sólo se han probado asumiendo $\neg \textsf{AC}$$\neg\textsf{CH}$ ?
2. Hay algunos interesantes\resultados sorprendentes, lo que implica tanto $\neg \textsf{AC}$$\neg\textsf{CH}$ ?

Editar :

Mi definición de $\textsf{CH}$ $\textsf{ZF}$ $\aleph_0<\mathfrak m\rightarrow 2^{\aleph_0}\leq\mathfrak m$

Answer 1

Si consideramos la hipótesis continua a ser $\aleph_0<\mathfrak m\rightarrow 2^{\aleph_0}\leq\mathfrak m$, un resultado posible, vale la pena mencionar:

Existe una infinita Dedekind-conjunto finito de reales que se Borel.

Si $A$ es establecer, a continuación, $A\cup\Bbb N$ es un testimonio del fracaso de las $\sf CH$$\sf AC$. Lo que quizás es mucho más sorprendente es el hecho de que tales conjunto de Borel. Esto es cierto en la de Cohen primer modelo.

En realidad se puede reemplazar el infinito Dedekind-conjunto finito por todo tipo de juegos, que son "moralmente más pequeño que el continuo" (por ejemplo, un conjunto que es el contable de la unión de conjuntos contables, pero no contables en sí mismo).

Aquí es un resultado sorprendente, que es un poco en la línea de lo que pides, aunque no totalmente.

Asumiendo $\sf ZF+DC$, luego no sabemos de ningún modelo en el que hay un no-medibles conjunto y $\sf CH$ mantiene. En particular, existe un modelo en el que cada conjunto tiene la Propiedad de Baire, pero que no se pueden medir conjuntos existen.

Esto no es del todo lo que piden, porque puede ser constante por lo que hay que no se pueden medir sets, mientras que cada conjunto tiene el tamaño de un continuum y que $\aleph_1\neq2^{\aleph_0}$; sin embargo Sela del modelo en el que cada conjunto de reales tiene la Propiedad de Baire (y esto contradice $\sf AC$), pero no son conjuntos medibles es uno donde $\aleph_1<2^{\aleph_0}$. La razón por la que nos involucran $\sf DC$ en todo lo que es tener una manera razonable de la definición de una $\sigma$-aditivo y atomless medida en los reales, para empezar.