Todas las raíces de $(x^2+1)^2 = x(3x^2+4x+3)$

Question

Encuentre todas las raíces de la ecuación : $$(x^2+1)^2 = x(3x^2+4x+3)$$ ¿Cómo podemos encontrar las raíces de polinomios de grado > 2 ??

También, En impar grado de los polinomios yo uso la regla de Descartes de los signos para predecir el número de raíces reales. Aquí, sin embargo, no me dan ninguna pista sobre el número de la real/imaginaria de las raíces. Hay un método mejor?

Answer 1

En el reordenamiento tenemos $x^4-3x^3-2x^2-3x+1=0$

Como este, dividir ambos lados por $x^2$ $x\ne0$ conseguir $$x^2+\frac1{x^2}-3\left(x+\frac1x\right)-2=0$$

O, $$\left(x+\frac1x\right)^2-2-3\left(x+\frac1x\right)-2=0$$

Poner $x+\frac1x=u$

Answer 2

Sugerencia: $$(x^2+1)^2-3x(x^2+1)-4x^2=0$$ $$(x^2+1-4x)(x^2+1+x)=0$$

Answer 3

Otra solución:

Resolver la ecuación de $(x^2+1)^2 = 3x(x^2+1)+4x^2$ $x^2+1$ como un desconocido: $$x^2+1=\frac{3x\pm \sqrt{9x^2+16x^2}}{2}=\frac{3x\pm 5x}{2}$$ etc.