Cálculo del cilindro de$z\rightarrow z^2$

Question

Una pregunta en mi topología supuesto, el otro día (no una cesión de crédito).

Deje $f:S^1\rightarrow S^1$ por $f(z)=z^2$ ($S^1$ se considera en el plano complejo). ¿Qué es el mapeo de cilindro de $f$?

Después de discutir brevemente con algunos otros, me dijeron que era en realidad la banda de Möbius. Pero esto es muy difícil de visualizar. Por ejemplo, la banda de Möbius tiene sólo un borde, pero una asignación cilindro tiene dos, el dominio en la parte superior y la parte inferior de la rebanada que está pegada a la imagen de $f$. La imagen que tengo en mi cabeza es la de un cilindro cuyo borde inferior se ha estirado y retorcido para ser conectados correctamente. Pero es difícil para mí ver cómo esto podría ser la cinta de Moebius.

Alguna idea?

Answer 1

${}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$

Answer 2

Siempre hay un enfoque de la tierra. Primera nota de la asignación del cilindro está pegado de la habitual cilindro $S^1\times [0,1]$, que podría ser a su vez pegado de un rectángulo. Aquí está una foto de cómo hacerlo, utilizando una forma común de describir encolado (la "notación" se explica en la final de la respuesta, pero usted probablemente puede adivinar):

Ella aún está lejos de ser obvio lo que el resultado sería. Pero ahora hay un estándar truco para simplificar la tarea: hacer la auxiliar de recortes. El punto es, usted necesitará pegamento más (deshaciendo la corte), pero se puede pegar en diferente orden. Vamos a cortar el rectángulo por la mitad:

resultados en

Ahora pegamento horizontal (verde) lados primera:

Esto no es otra cosa sino la banda de Möbius en sí, de hecho la forma estándar!

UPD: el significado de las imágenes es el siguiente: tomar un rectángulo, para cada color (excepto el negro habitual que no significa nada) pegamento de dos segmentos rectos con este color de la forma en que las direcciones de las flechas coinciden. En la primera foto de la parte inferior se considera dos segmentos.