¿Cuál es el coeficiente de correlación entre dos variables aleatorias cero?

Question

¿Qué es$\rho_{XY}$ cuando$X=0$ y$Y=0$? Para todos$X=Y$,$\rho_{XY}=1$ y esto no debería ser una excepción. Pero utilizando el siguiente formulario:$$\rho_{XY}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$$ yields a $ \ frac {0} {0} $. ¿Cómo puedo tomar los límites o aplicar la regla de L'Hospital para demostrar que esto equivale a 1?

Answer 1

La correlación es indefinido. Esto debería ser una excepción, porque la varianza es cero.

A ver por qué límites no funciona, deje $X$ ser cualquier variable aleatoria con un valor distinto de cero y la varianza (sin pérdida de generalidad) suponga que se tiene una media de cero. A continuación, las secuencias de bivariante variables aleatorias $(X/n, X/n)$ $(X/n, -X/n)$ ambos convergen en probabilidad a$(0,0)$$n\to\infty$, pero las correlaciones en la primera secuencia de todas las $1$ y los de la segunda secuencia de todas las $-1$. Por lo tanto usted no puede colarse en una correlación de $(0,0)$ tomando límites--el límite de las correlaciones pueden ser $1$, $-1$ (o de hecho a cualquier valor en el medio).

Answer 2

$\frac{0}{0}$ me parece correcto. Es decir, no tiene sentido. La correlación mide la relación lineal entre dos variables. Pero si cualquiera de las variables es una constante, esta es una idea sin sentido. No es 0, no es 1, es solo ... no. Entonces,$\frac{0}{0}$ parece correcto.