Comprueba que una curva es una geodésica.

Question

Supongamos que $M$ es una variedad bidimensional. Sea $\sigma:M \rightarrow M$ sea una isometría tal que $\sigma^2=1$ . Supongamos que el conjunto de puntos fijos $\gamma=\{x \in M| \sigma(x)=x\}$ es una submanifold unidimensional conectada de $M$ . La pregunta pide que se demuestre que $\gamma$ es la imagen de una geodésica.

Answer 1

Dejemos que $N=\{x\in M:\sigma(x)=x\}$ y arreglar $p\in N$ .

Ejercicio 1 : Demuestre que $1$ o $-1$ es un valor propio de $d\sigma_p:T_p(M)\to T_p(M)$ .

Ejercicio 2 : Demostrar que si $v\in T_p(M)$ es un vector propio de $d\sigma_p:T_p(M)\to T_p(M)$ de norma suficientemente pequeña, entonces la única geodésica $\gamma:I\to M$ para algún intervalo abierto $I\subseteq \mathbb{R}$ tal que $\gamma(0)=p$ y $\gamma'(0)=v$ tiene la imagen contenida en $N$ . ( Sugerencia : las isometrías de las variedades riemannianas llevan las geodésicas a las geodésicas).

Espero que esto ayude.