Ecuaciones geodésicas para esferas

Question

Obtengo una ecuación diferencial ordinaria cuando estoy comprobando que las esferas geodésicas de esferas son círculos excelentes que usan proyección estereográfica (sé que hay mejores formas de obtener las geodésicas directamente).

Solo quiero saber la propiedad de esta ecuación

$\lambda ''(1+\lambda ^2)=\lambda \lambda '^2$

con valor inicial$\lambda(0)=0$,

como si se puede resolver, y si$\lambda'$ está aumentando.

Answer 1

La solución general es $$\lambda = \sinh\left(C_1t+C_2\right)$$

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Desde entonces, el OP quiere saber cómo resolver en general.

Tenemos $$(1+\lambda(t)^2)\lambda''(t) = \lambda(t)\lambda'(t)^2$$

Deje $\mu(\lambda) = \lambda'(t)$, y, por tanto, a través de la regla de la cadena podemos reducir nuestra ecuación para

$$\frac{d\mu}{d \lambda}(\lambda^2 +1)\lambda = \lambda \mu^2.$$

Por lo tanto, tenemos

$$\mu\left(\frac{d\mu}{d \lambda}\lambda^2 + \frac{d\mu}{d \lambda} - \mu \lambda\right) = 0$$

Así que, o bien tienen $\mu= 0$ o $\frac{d\mu}{d \lambda}\lambda^2 + \frac{d\mu}{d \lambda} - \mu \lambda = 0$.

Reorganización de la segunda ecuación tenemos la posibilidad de ver que

$$\frac{d\mu}{d \lambda} = \frac{\mu \lambda}{\lambda^2+1}$$

es separable. La integración de este nos da

$$\mu = C_1 \sqrt{\lambda^2 +1}.$$ Por lo tanto, todo lo que queda por hacer es resolver

$$\lambda' = C_1 \sqrt{\lambda^2 +1}$$ que a su vez es seperable y conduce a

$$\int \frac{d \lambda}{\sqrt{\lambda^2 +1}} = \int C_1 \, \, dt.$$

Esto tiene solución general $\lambda = \sinh(C_1 t + C_2)$. Aviso tenemos dos constantes como es un segundo orden de la ecuación diferencial. Para solucionar de una constante, de sustitución en la condición de $\lambda(0) = 0$.