Estoy trabajando a través del primer capítulo de Morris Hirsch "Topología Diferencial". En el Capítulo 1, sección 3 ejercicio 11, me encontré con la siguiente pregunta.
"Con respecto a $S^1$ como el ecuador de $S^2$, obtenemos $P^1$ como submanifold de $P^2$ (Hirsch usa $P^n$ para denotar real proyectivo n-espacio). Mostrar que $P^1$ no es un regular nivel de la superficie para cualquier $C^1%$ mapa en $P^2$. Sugerencia: no hay barrio de $P^1$ $P^2$ está separado por $P^1$."
He tratado de resolver esta contradicción, suponiendo que hay un $C^1$ función de $P^2$ tal que $P^1=f^{-1}(y)$ y $T_pf$ es surjective para cada una de las $p\in P^1$. Entonces el teorema de la función inversa implicaría que cada abierto barrio de $P^1$ es diffeomorphic a algunos abiertos barrio de $y$. Tengo la sensación de que yo estoy destinado a aplicar la sugerencia aquí, y llegar a una contradicción, al mostrar una propiedad topológica no se conserva bajo homeomorphism (ruta de conexión con suerte).
Por desgracia, estoy teniendo problemas con la visualización de por qué la sugerencia es cierto. Creo que no puede ir más allá sin la comprensión de que.
