Función regresiva en un ordinal

Question

Estoy tratando de demostrar que la siguiente instrucción.

Deje $0<\overline{\alpha}\leq\alpha$ dos ordinales tal que $\omega_{\overline{\alpha}}$ es el cofinality de $\omega_\alpha$. Deje $f$ ser una asignación de $\omega_\alpha$ a $\omega_\alpha$ tal que $f(\xi)<\xi$ cualquier $0<\xi<\omega_\alpha$. Entonces existe $\lambda_0<\omega_\alpha$ tal que $f^{-1}(\lambda_0)$ tiene cardinalidad $\geq\aleph_{\overline{\alpha}}$.

Creo que casi tengo: en el anterior ejercicio, sé que $f$ no puede ser divergentes, es decir, yo sé que no existe $\lambda<\omega_\alpha$ tal que $f^{-1}([0,\lambda])$ es cofinal y por lo tanto tiene cardinalidad $\geq\aleph_{\overline{\alpha}}$. Mi idea era definir $\lambda_0$ menos ordinal $\lambda$ tal que $|f^{-1}([0,\lambda])|\geq\aleph_{\overline{\alpha}}$. Me gustaría concluir que $|f^{-1}(\left[0,\lambda_0\right[)|<\aleph_{\overline{\alpha}}$, pero no sé cómo. Sería cierto si el cofinality de $\lambda_0$$<\omega_{\overline{\alpha}}$. ¿Hay alguna manera de demostrar esto? Estoy en el camino correcto?

Me he enterado de que la declaración es un (muy) caso especial de un teorema llamado de Fodor Lema. Sin embargo, su prueba es bastante complicado y no tengo ninguna experiencia con el concepto de "estacionaria", por lo que no soy capaz de en una cantidad razonable de tiempo para entender lo suficiente como para reducirlo a un elemental prueba de la afirmación anterior. Pero tal vez es una tarea fácil para un experimentado conjunto teórico.

Answer 1

Dado que la restricción de la función de $f$ a $\omega_{\bar\alpha}$ sigue siendo regresivo, y el cofinality de $\omega_{\bar\alpha}$ es en sí, podemos reducir de inmediato el caso a $\bar\alpha=\alpha$. Este también puede ser descrito como el caso que $\omega_\alpha=\omega_{\bar\alpha}$ es regular. Asumir hacia la contradicción de que todos los $f^{-1}(\lambda)$ tiene un tamaño menos de $\omega_{\bar\alpha}$. En particular, cada $f^{-1}(\lambda)$ está delimitado en $\omega_\alpha$, después de haber supremum $\beta_\lambda\lt\omega_\alpha$. Desde $\omega_\alpha$ es regular y tiene innumerables cofinality, podemos encontrar un ordinal $\delta\lt\omega_\alpha$ que es cerrado dentro de la función de $\lambda\mapsto\beta_\lambda$, en el sentido de que $\beta_\lambda\lt\delta$ siempre $\lambda\lt\delta$ (este es un ejercicio divertido: empezar con cualquier ordinal $\delta_0$, vamos a $\delta_{n+1}$ ser el supremum +1 de $\beta_\lambda$ todos los $\lambda\lt\delta_n$, y vamos a $\delta=\text{sup}_n\delta_n$). Ahora, el punto es que $f(\delta)$ debe ser menor que $\delta$, pero no puede ser particular $\lambda\lt\delta$ desde $\delta$ es mayor que $\beta_\lambda$. QED