Ejemplo de espacios lineales dimensionales infinitos donde el espacio es igual a su dual.

Question

Mi entendimiento es que en la finita dimensiones, cada espacio lineal $V$ es isomorfo a su doble $V^\ast$. En infinitas dimensiones, se tiene que cualquier espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ es isomorfo (específicamente, anti-isomorfo) a su doble $\mathcal{H}^\ast$ (Riesz Teorema de Representación). Además, cada espacio de Hilbert también es isomorfo a la plaza summable espacio de secuencia $\ell^2$.

Me pregunto si hay ejemplos de infinitas dimensiones lineales espacios en los que el doble es igual a sí mismo, y el espacio no es isomorfo a $\ell^2$.

Edit: se asume que el campo subyacente a ser $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Answer 1

Existe cierta confusión aquí:

• En el contexto de los espacios de Hilbert, $\mathcal{H}^*$ no es el completo (algebraica) de doble de $\mathcal H$. Es el dual topológico, es decir, el espacio de todo el continuo lineal de las formas.
• No es cierto que cada infini-dimensional espacio de Hilbert es isomorfo al espacio de $\ell^2$ de sucesiones de cuadrado sumable. Sólo aquellos que son separables.

Si estamos hablando únicamente el dual algebraico, entonces no infinita dimensión espacio vectorial $V$ es isomorfo a $V^*$.

Answer 2

Si$V$ es un espacio vectorial dimensional infinito normal, no hay estructuras adicionales, entonces$$\dim V^*=2^{\dim V}$ $, por lo que nunca pueden ser isomorfas.