¿Por qué dividir un número por otro número te da el conjunto de números divisibles?

Question

Esto puede sonar trivial, pero me pregunto por qué, por ejemplo, si lo hace:

$\lfloor10/8\rfloor = 1 \implies 1$ number$[1,10]$ divisible por$8$:$\{8\}$
$\lfloor10/3\rfloor = 3 \implies 3$ numbers$[1,10]$ divisible por$3$:$\{3,6,9\}$
$\lfloor23/4\rfloor = 5 \implies 5$ numbers$[1,23]$ divisible por$4$:$\{4,8,12,16,20\}$
$\ldots$ etc.

¿Por qué es esto cierto?

Answer 1

Debido a la división Lo que esencialmente estás haciendo cuando lo haces:

ps

Se pregunta, ¿cuántas veces entra$$10\over 3$ en$3$? La respuesta es$10$, pero el entero inicial$3.\bar3$ te dice que hubo$3$ veces completas más alguna parte fraccionaria. Como$3$ entró en$3$ tres veces completas, debe haber$10$ números menores o iguales a$3$ que son múltiplos de$10$. Suelos en la división solo te da la parte completa.

Answer 2

Vamos a hacer general. Si estamos buscando el número de números naturales divisibles por decir $y$ hasta un número dice $x$, $\lfloor x/y\rfloor$ es el número que estamos buscando porque esos números son $1y,\ 2y,\ 3y, ..., ay\ $ donde $ay$ es el mayor número divisible por $y$$ay \le x$. A continuación, observe que

• Si $ay = x$, directamente ha $a = \frac{x}{y} = \lfloor x/y\rfloor$, por lo que tenemos $a$ muchos de estos números (de$1y$$ay$).

• Si $ay < x$,$x-ay = k$$k < y$, implica $a = \frac{x-k}{y}$ $a = \lfloor x/y\rfloor$ nuevo porque sabemos que $k < y$. Así que, de nuevo, tenemos $a$ muchos de estos números (de nuevo de$1y$$ay$).

Answer 3

Usando el lema de división, la división$b/a$ nos da una suma

ps

con $$b = qa + r$. Ahora hay exactamente$0 \le r < a$ múltiplos de$q$ menos que o igual a$a$; a saber, son$b$. Además,

$a, 2a, 3a, \dots, qa$ $ desde$$\lfloor \frac b a \rfloor = \lfloor q + \frac r a\rfloor = q$.

Answer 4

Supongamos que$x$ y$y$ son enteros positivos. Entonces

$ 1y < 2y < \cdots < ny \le x < (n+1)y $ si y solo si $\left \lfloor \dfrac xy \right \rfloor = n$