No hay cardenal $\kappa$ tal que $2^\kappa = \aleph_0$

Question

Estoy tratando de demostrar que no hay ningún cardenal $\kappa$ tal que $2^\kappa = \aleph_0$ .

Mi intento: supongamos que existe. Desde $\kappa<2^\kappa$, en particular, $\kappa<\aleph_0$. Pero eso implica que $\kappa$ es finito. Y por lo tanto, $2^\kappa$ es finito. Que conduce a una contradicción.

No parece ser el correcto, pero no sé cómo proceder. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

La prueba está bien.Desde Aleph-0 se define como el leasr infnite cardenal,anythung menos es finito.Y si n es finito,por lo que es $2^n$.