Ideales del anillo de números racionales con denominadores impares

Question

Considere la posibilidad de la sub-anillo $R\subset\Bbb Q$ , $R=\{\frac ab\ | \ a,b\in\Bbb Z, b\text{ odd}\}$

Estoy luchando con las siguientes preguntas:

(1) Demostrar que los ideales de la $R$ $\{0\}$ $2^nR$ $n\ge 0$

(2) Demostrar que el $R$ 2 primer ideales y 1 la máxima ideal

Para (1) puedo ver que $2^nR$ es ideal para $n\geq0$ pero no estoy seguro de cómo mostrar todos los ideales de otros de $\{0\}$ son de este formulario

Con la pregunta (2),

$2^nR\subsetneq 2^{n-1}R\subsetneq...\subsetneq 2R\subsetneq R$

por lo $2R$ es claramente el único ideal maximal y por lo tanto es primo, pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Alguna sugerencia?

Answer 1

Para continuar (1): Los elementos de las $R$ aspecto de los elementos de $\mathbb Z$, salvo que usted también tiene los inversos de todos los números impares. Todo en $\mathbb Z$ factores primos, pero la mayoría de ellos son unidades, por lo que la única cosa que importa es el número de $2$'s en la factorización. Así que no debería tener mucha dificultad en el argumento de esta manera: supongamos $I\lhd R$ ser un ideal distinto de cero. Entre todos los elementos en $I$, expresado en términos de $\frac{a}{b}$, elija uno con el menor poder de $2$ dividiendo $a$. Luego trabajo para mostrar a $I=(a)\lhd R$.

Para continuar (2), que han visto que $(2)$ es primo, y obviamente nada de la forma $(2^n)$ $n>1$ podría ser un primo, así que la única cosa que queda es $\{0\}$. Que no ves que es primo?