¿Cómo se puede ver si algo está bajo una topología?

Question

X se define como: $\{a,b,c,d\}$

Un espacio topológico $X$ se llama $T_{0}$ si para cada par de puntos de $x,y \in X$, existe un conjunto abierto $U$ que contiene uno de ellos y el otro no. Es $XT_{0}$ es bajo su topología (que debe construir) que no es ni discretas ni trivial, y para demostrarlo.

Para la primera parte, he definido mi topología $\{\emptyset, X, \{a\},\{ab\},\{abc\}\}$ porque esta topología no es ni discretas ni trivial. Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar que $XT_{0}$ es bajo mi topología?

Answer 1

De hecho, $\mathcal{T} = \{\emptyset, X, \{a\}, \{a,b\}, \{a,b,c\} \}$ es una topología en $X = \{a,b,c,d\}$ porque forma un número finito de "cadena" que contenga $X$$\emptyset$. Para abrir cualquiera de los dos subconjuntos $U,V$ tenemos $U \subseteq V$ o $V \subseteq U$. Esto implica ser cerrado bajo intersecciones finitas: cualquier conjunto finito de abiertos conjuntos tiene un mínimo en términos de inclusión y esta es la intersección, y lo mismo vale para los sindicatos, ya que todos los sindicatos son finitas y tienen un máximo establecido así.

Que es $T_0$ también es claro en este caso:si $x \neq y$, entonces uno de ellos, decir $x$, es la "carta" con el menor alfabético posición y, a continuación,$U$, siendo el conjunto de todas las letras antes y incluyendo $x$ es abierto y no contienen el otro punto.

El limpiador es definir $X = \{0,1,2,3\}$ y definen $$\mathcal{T} = \{\emptyset\} \cup \{ U_j:=\{i: i \le j\} : j \in X\}$$

que viene a ser lo mismo en esencia. A continuación, $i \in U_i, j \notin U_i$ siempre $i < j$, etc.

Answer 2

Si no me equivoco, tal como se define, su topología no dar $X$ $T_0$ propiedad, ya que como se indicó no contienen un conjunto abierto que contiene por ejemplo $b$ e no $c$.

Tal vez la definición de los bloques abiertos de la topología a ser el siguiente sería mejor: $$\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\},X$$