Conjunto de los números reales positivos con finito distinto de cero punto límite se pueden organizar en secuencia $(a_n)$ $(a_n^{1/n})_n$ convergentes

Question

Demostrar que un countably conjunto infinito de número real positivo con finito distinto de cero punto límite pueden ser organizadas en una secuencia $(a_n)$ s.t $(a_n^{1/n})_n$ es convergente.

Yo no estoy recibiendo la prueba:

Deje $(x_n)$ el valor del número real y deje $a$ ser finito distinto de cero punto límite. Elija $A$ s.t $1/A < a< A$ y deje $a_1$ el valor del $x_n$ de subíndice más pequeño que se encuentra en el intervalo de $(1/A,A)$. Ahora creo que tengo que ir por inducción que la elegida $a_1,...,a_{k-1}$, si tengo que elegir me $a_n$ pero no soy capaz de conseguir el resultado.

Answer 1

Deje $S=(x_n)_{n\in \Bbb N}$ ser un real positivo secuencia con $x$ ser un positivo punto límite de $S.$ Deje $f:\Bbb N\to \Bbb N$ ser estrictamente creciente tal que $x=\lim_{n\to \infty}x_{f(n)}$ que $\Bbb N \setminus f(\Bbb N)$ es infinito. Esto es posible debido a $S$ tiene una sub-secuencia $(x_{n_j})_{j\in \Bbb N}$ convergentes a $x$, y podemos dejar $f(\Bbb N)=\{n_{(2j)}:j\in \Bbb N\}.$

Deje $g:\Bbb N\to \Bbb N \setminus f(\Bbb N)$ el (único) de la orden-isomorfismo. Tomar una estrictamente creciente $h:\Bbb N \to \Bbb N$ tal que $h(n+1)\geq h(n)+2$ e donde: $h(n)$ es lo suficientemente grande como $|(x_{g(n)})^{1/h(n)}-1|<1/n.$

Deje $i:f(\Bbb N)\to \Bbb N\setminus h(\Bbb N)$ el (único) de la orden-isomophism. Por último, si $m=i(f(n))$ deje $y_m=x_{f(n)}$ e si $m=h(n)$ deje $y_m=x_{g(n)}.$