Generar un $5 × 5$ matriz de modo que cada entrada es un número entero entre el$1$$9$, ambos inclusive, y cuyo determinante es divisible por $271$.
Esta es una práctica problema para un álgebra lineal examen que tengo de venir, y no puedo por la vida de la figura. Yo estaba pensando que tal vez hacer un triangular de la matriz de ($0$s por debajo de la diagonal principal, determinante sería el producto de la diagonal), pero que no iba a funcionar porque dice que el uso de números enteros $1$-$9$.
Ha de pensar en este problema todos los días. La única manera de que hemos cubierto el determinante de una matriz grande ($3 × 3$ o más) ha sido a través de resumir la firma de primaria del producto, pero para un $5 × 5$ matriz, es necesario asegurarse de que todos los $5! = 120$ firmado primaria de productos tendría que ser divisible por $271$.
Si alguien tiene una mejor forma de enfocar y resolver este problema, sería muy apreciada.
Respuestas
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Vamos $\overline{a_{i1}a_{i2}a_{i3}a_{i4}a_{i5}}$, $i \leq 1 \leq 5$ ser cinco distintos de cinco dígitos múltiplos de $271$ que tienen los no-cero dígitos. Pretendemos que la matriz $a_{ij}$ tiene un factor determinante divisible por $271$. Es decir, si tenemos la matriz cuyas filas son los múltiplos de $271$, entonces tiene un determinante divisible por $271$.
La prueba es bastante inteligente, realmente : tenga en cuenta que los factores determinantes se conservan bajo la columna de la suma y la resta de las operaciones. Por lo tanto, si $C_i$ son las columnas, realice $C_5 \to 10000C_1 + 1000C_2 + 100C_3 + 10C_4 + C_5$. La realización de este, el determinante no cambia, pero ahora, $(C_5)_j = 10^4 a_{j1} + 10^3 a_{j2} + .. = \overline{a_{j1} a_{j2}...a_{j5}}$, para todos los $1 \leq j \leq 5$. Por lo tanto, la columna de $C_5$ se compone completamente de múltiplos de $271$. Por la multilinealidad de la determinante, se deduce que el determinante de la matriz es divisible por $271$.
Estoy seguro de que usted puede encontrar fácilmente cinco múltiplos de $271$ que satisfacen la situación, y además de dar un valor distinto de cero determinante, divisible por $271$.
Tomar estos múltiplos : $99728,98915,66666,31436,48238$, y la forma de la matriz: $$ \begin{pmatrix} 9\quad 9 \quad 7 \quad 2 \quad 8 \\ 9 \quad 8 \quad 9 \quad 1 \quad 5 \\ 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \quad 6 \\ 3 \quad 1 \quad 4 \quad 3 \quad 6 \\ 4 \quad 8 \quad 2 \quad 3\quad 8\\ \end{pmatrix} $$ que ha determinante $-1626 = 271 \times -6$. Curiosamente, si usted escribe $11111$ arriba en vez de $66666$, e intercambiar dos filas, usted recibirá exactamente $271$ como el factor determinante.
