¿Se puede axiomatizar un campo a partir de las operaciones binarias y sólo de los axiomas "ecuacionales"?

Question

Los axiomas de campo habituales incluyen el existencia de identidades (aditivas y multiplicativas) e inversas. ¿Existe un conjunto de axiomas de campo en el que todos los axiomas sean puramente ecuacionales (ver más abajo lo que quiero decir)?

El artículo de Wikipedia sobre los campos contenido (y todavía contiene, ligeramente reescrita) una intrigante sección sobre "axiomatizaciones alternativas":

Debido a las relaciones entre las operaciones, se puede axiomatizar un campo asumiendo explícitamente que hay cuatro operaciones binarias (sumar, restar, multiplicar, dividir) con axiomas que las relacionan,

Esto es algo que me interesa, y me pregunto si es cierto: ¿puedo ver un ejemplo de tal conjunto de axiomas? ¿O demostrar que no existe uno?

En concreto (porque lo que sea de lo que habla la Wikipedia puede resultar no ser lo que yo quiero), estoy pensando en una definición algo así como lo siguiente: un campo es un conjunto $F$ junto con cuatro operaciones $(+, -, \times, \div)$ que satisface los siguientes axiomas (aquí $a, b, c, d$ denotan cualquier elemento de $F$ ):

$$\begin{align} a + b &= b + a \\ a + (b + c) &= (a + b) + c \\ a + (b - c) &= (a + b) - c \\ a - (b - c) &= (a - b) + c \\ a + (b - b) &= a \quad \rlap{\text{(maybe we need something like this?)}} \\ a \times b &= b \times a \\ &\dots \end{align}$$ donde cada axioma es simplemente una ecuación (o una regla de reescritura de términos: si tenemos una expresión de la forma de la izquierda, entonces podemos transformarla a la de la derecha, tal vez haciendo estas transformaciones hasta que obtengamos una forma canónica), sin axiomas de la forma "existe " (como suponer $0$ o $1$ o inversos aditivos o multiplicativos). Si tal sistema no da lugar a un campo, ¿qué falta?

(Estoy tratando de ver si, partiendo de cuatro operaciones arbitrarias definidas sobre un conjunto $S$ e introduciendo restricciones ecuacionales en las operaciones -como la conmutatividad, la asociatividad, etc.- si finalmente podemos llegar a un estado en el que sepamos que estas son todas las restricciones. Sé que esta axiomatización puede parecer extraña, pero existen otras extrañas como La axiomatización de los reales de Tarski .)

Answer 1

No, y más generalmente no hay ninguna axiomatización de los campos utilizando cualquier número de operaciones y sólo axiomas ecuacionales. Si existiera tal axiomatización, entonces cualquier producto de dos campos tendría una estructura de campo (basta con utilizar las operaciones en cada coordenada por separado). Pero, por ejemplo, no existe una estructura de campo en el conjunto subyacente del producto $\mathbb{F}_2\times\mathbb{F}_3$ .

Answer 2

¡Esta es una gran pregunta! La respuesta es no, los campos no se pueden axiomatizar así.

La observación clave es que las ecuaciones se conservan mediante productos : si $A, B$ son estructuras que satisfacen algún conjunto de ecuaciones, entonces $A\times B$ también satisface esas ecuaciones. Pero el producto de dos campos es nunca un campo.

En cambio, es fácil comprobar que los anillos son axiomatizables mediante ecuaciones (también lo son los grupos, los monoides y muchas otras clases interesantes de estructuras). $^*$

Las clases de estructuras que pueden ser axiomatizadas mediante ecuaciones se denominan (quizás de forma confusa) variedades y su estudio forma parte de álgebra universal . Permítanme terminar mencionando uno de los teoremas fundamentales del álgebra universal:

Teorema HSP : Dejemos que $\mathcal{V}$ sea una colección (no vacía) de álgebras (no vacías) (es decir, estructuras en algún lenguaje que contienen sólo símbolos de función) que es cerrado bajo isomorfismo (es decir, $A\cong B, A\in\mathcal{V}\implies B\in\mathcal{V}$ ) . Entonces $\mathcal{V}$ es una variedad si y sólo si $\mathcal{V}$ es cerrado bajo subestructuras, imágenes homomórficas y productos cartesianos arbitrarios.

Una dirección del teorema es relativamente fácil: demostrar que los productos, las subestructuras y las imágenes homomórficas preservan las ecuaciones. La otra dirección es más interesante. A grandes rasgos, suponiendo que $\mathcal{V}$ es cerrado bajo H, S y P (de ahí el nombre del teorema) y $A$ es un álgebra que satisface cada ecuación que es verdadera para cada elemento de $\mathcal{V}$ queremos mostrar $A\in\mathcal{V}$ . Utilizamos el cierre bajo productos para construir un álgebra "libre" muy grande (análoga a un grupo libre) en $\mathcal{V}$ y luego demostrar que $A$ es la imagen homomórfica de una subestructura de esta álgebra.

(Obsérvese que aquí hay un tema más amplio: ¿qué tipos de oraciones de primer orden se conservan con qué tipos de operaciones algebraicas? Puede encontrar algunos detalles sobre esto en los libros de teoría de modelos de Hodges).

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$^*$ En realidad, hay una sutileza importante aquí: la lengua importa ¡! Piensa en los grupos. Si tenemos un símbolo para el elemento de identidad y un símbolo para la operación inversa, así como un símbolo para la operación de grupo, entonces los axiomas de grupo habituales son todos ecuacionales. Sin embargo, si no tenemos un símbolo para estos elementos, entonces necesitamos axiomas más complicados (en particular, necesitamos decir "existe algún elemento tal que ..." que no es ecuacional).

De hecho, la clase de grupos en el lenguaje que contiene sólo la operación de grupo es no ¡una variedad! Esto se deduce del hecho de que las subestructuras preservan las ecuaciones: toda ecuación verdadera en $\mathcal{Z}=(\mathbb{Z}; +)$ también es cierto en $\mathcal{N}=(\mathbb{N}; +)$ por lo que cualquier variedad que contenga la primera también contiene la segunda. La cuestión es que un lenguaje más expresivo permite que las ecuaciones digan más.