Probar: simétrica positiva definida la matriz de

Question

Estoy estudiando para mi examen de álgebra lineal.. quiero probar el siguiente corolario:

Si $A$ es simétrica positiva definida la matriz, a continuación, cada entrada de $a_{ii}> 0$, es decir, todos los elementos de la diagonal de la matriz son positivos.

Mi profesor le dio una sugerencia para considerar el vector unitario "$e_i$", pero veo que está utilizando.

$a_{ii} >0$ por cada $i = 1, 2, \ldots, n$. Para cualquier $i$, definir $x = (x_j)$ $x_i =1$ y $x_j =0$ si $j\neq i$, ya que el $x \neq 0$, entonces:

$0< x^TAx = a_{ii}$

Pero mi maestro dice: mi prueba es ambiguo. Cómo puedo usar el vector unitario $e_1$ para la demostración?

Answer 1

Deje $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$, y así sucesivamente, donde $e_i$ es un vector de ceros, excepto por una $1$ $i^{\mathrm{th}}$ lugar. Desde $A$ es positiva definida, a continuación, $x^T A x > 0$ por el no-vector cero $x \in \Bbb R^n$. A continuación, $e_1^T A e_1 > 0$, e igualmente para $e_2, e_3$ y así sucesivamente.

Si el $i^{\mathrm{th}}$ diagonal de entrada de $A$ no fue positivo, $a_{ii} < 0$,$e_i^T A e_i = 0\cdot a_{11}\cdot 0 + 1\cdot a_{12}\cdot 0 + \cdots + 1\cdot a_{ii}\cdot 1 + \cdots + 0\cdot a_{nn} \cdot 0$, ya que el $e_i$ tiene ceros en todas partes, pero en el $i^{\rm th}$ spot.

Por lo tanto, ¿qué pasaría si $a_{ii}$ fue positivo?