Prueba por inducción: $2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

Question

Tengo algunos problemas al tratar de probar el Ejercicio 13, página 41 del Cálculo I de Apóstol, que es el que se utiliza para explicar algunas características de la integración en las páginas siguientes.

Dice:

Demuestra que $2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$ si $n\geq 1$ . Entonces usa esto para probar que

$$2\sqrt{m}-2 < \sum_{n=1}^m\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{m}-1 \qquad \text{if } m \geq 2$$

(En este momento estoy atascado con la primera parte del problema).

Prueba (por inducción):

$$P(n): 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\qquad \text{for }n\geq 1$$

Caso base: $P(1)$

$$\begin{align*} 2(\sqrt{1+1} - \sqrt{1}) &< \frac{1}{\sqrt{1}} < 2(\sqrt{1}-\sqrt{1-1})&\\ 2(\sqrt{2} - \sqrt{1}) &<\hspace{5pt} 1 \hspace{6pt} < 2 \end{align*}$$

lo cual es cierto.

Hipótesis de inducción: Supongamos que $P(k)$ es cierto para un entero positivo $k \geq 1$ :

$$\underbrace{2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})}_{a} < \frac{1}{\sqrt{k}} < 2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})\qquad (1)$$

Paso de inducción: Pruebe $P(k+1)$ :

$$2(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}) < \frac{1}{\sqrt{k+1}} < \underbrace{2(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})}_{a}$$

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Esta fue mi estrategia:

Desde que asumimos $P(k)$ es cierto, multiplicando el conjunto de desigualdades $(1)$ por $\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}$ tenemos

$$2\left(\sqrt{k} - \frac{k}{\sqrt{k+1}}\right) < \frac{1}{\sqrt{k+1}} < \underbrace{2\left(\frac{k}{\sqrt{k+1}}-\sqrt{\frac{k-1}{k+1}}\right)}_{b}$$

Entonces, si podemos mostrar que $b < a$ por la transitividad tenemos que $P(k+1)$ es cierto.

Y ahí es donde estoy atrapado. No estoy seguro de lo que estoy haciendo mal, pero al establecer la desigualdad $b<a$ parece que la suposición que hice no funciona:

$$\begin{align*}\frac{k}{\sqrt{k+1}} - \sqrt{\frac{k-1}{k+1}} <&\ \sqrt{k+1} - \sqrt{k}\\ \frac{k}{\sqrt{k+1}} - \sqrt{1- \frac{2}{k+1}} <&\ \sqrt{k+1} - \sqrt{k}\end{align*}$$

El RHS se aproxima $0$ mientras que el LHS se acerca $k$ que invierte la desigualdad, así que creo que no es el enfoque correcto.

¿Podría alguien darme un poco de luz?

Answer 1

Desde $$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n}} = \frac{1}{2\sqrt{n}},$$ tenemos $$2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}}.$$ Desde $$\frac{1}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} = \sqrt{n} - \sqrt{n-1}$$ también tenemos $$\frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}).$$

Answer 2

$2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$ ->multiplicar con $\sqrt{n}$ en todas partes

$2(\sqrt{(n+1)*n} - n) < 1 < 2(n-\sqrt{(n-1)*n})$ ->lo hacemos en dos partes.

$2\sqrt{(n+1)*n} < 2*n+1 $ ->La primera parte comienza

$4*n^2+4*n < 4*n+4*n+1 $ -> toma ambos lados al cuadrado. (como ambos son más grandes que cero no puede romper la desigualdad)

$0 < 1 $ ->tautología

$2*\sqrt{(n-1)*n} < 2*n-1$ ->La segunda parte comienza

$4*(n-1)*n < 4*n^2-4*n+1$ -> de nuevo tomar el cuadrado ambos .

$4*n^2-4*n < 4*n^2-4*n+1$ -> abierto escribir todo.

$ 0 < 1$ -> tautología

Continuará para la segunda parte de su pregunta...

$$2\sqrt{m}-2 < \sum_{n=1}^m\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{m}-1 \qquad \text{if } m \geq 2$$

$ 2*\sqrt{m}+c $ está creciendo la función y $f(k)= 2*\sqrt{k}+c$

$2*\sqrt{m+1}-2*\sqrt{m}$ es la diferencia entre f(m+1) y f(m)

$f_2(m)$ = $\sum_{n=1}^m\frac{1}{\sqrt{n}}$ y $f_2$ está creciendo la función para nuestro dominio.

$f_2(m+1)-f_2(m) = \sum_{n=1}^{m+1}\frac{1}{\sqrt{n}}-\sum_{n=1}^m\frac{1}{\sqrt{n}}$

$f_2(m+1)-f_2(m) = \frac{1}{\sqrt{m+1}}$

$\frac{1}{\sqrt{m+1}}-2*\sqrt{m+1}+2*\sqrt{m}->(comparison-op)<-0$

$\frac{1}{\sqrt{m+1}}+2*\sqrt{m}->(comparison-op)<-(2*\sqrt{m+1})$

$1+2*\sqrt{m}*\sqrt{m+1}->(comparison-op)<-(2*m+2)$

$2*\sqrt{m}*\sqrt{m+1}->(comparison-op)<-(2*m+1)$

$4*m*(m+1)->(comparison-op)<-4*m^2+4*m+1$

$4*m^2+4*m->(comparison-op)<-4*m^2+4*m+1$ -> la comparación op es <

$4*m^2+4*m<4*m^2+4*m+1$

$\frac{1}{\sqrt{m+1}}-2*\sqrt{m+1}+2*\sqrt{m}<0$

$$\sum_{n=1}^m\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{m}-2 < 2\sqrt{m}-1 \qquad \text{if m goes to infinity}$$