La elección de coordenadas para analizar los puntos de ramificación de $f(z) = (z^2+1)^{1/2}$

Question

El proceso de parametrización $$z-i = r_1\exp(i\theta_1) \quad \text{and}\quad z+i = r_2\exp(i\theta_2)$$

se utilizan para mostrar cómo $f(z) = (z^2+1)^{1/2}$ cambios cuando hacemos una vuelta completa alrededor de los puntos de ramificación $z=i$ $z=-i$ respectivamente.

¿Cómo podemos suponer que la curva parametrizada por $$(z-i)(z+i)=r_1 r_2 \exp(i(\theta_1+\theta_2))$$ traversed such that $\theta_1 \a \theta_1 + 2\pi$ still constitutes a loop around $z=i$, teniendo en cuenta el hecho de que $$z-i = r_1 \exp(i\theta_1)$$ es completamente diferente de $$(z-i)(z+i)=r_1 r_2 \exp(i(\theta_1+\theta_2))$$ ?

Además, lo que la observación se opone a que $\theta_1 \to \theta_1 +2\pi$ también encierra la otra rama punto?

Answer 1

Escribir $f(z)= \big( g(\tilde{z}) \big)^{1/2}$

Se puede construir una parametrización que al mismo tiempo parametrizes ambos bucles alrededor de los puntos de ramificación $z=i$$z=-i$, respectivamente, mediante la definición de $$g(\tilde{z} ):= g(r_1,r_2,\theta_1,\theta_2) = r_1r_2\exp(i\theta_1 + i\theta_2)$$ después de que nos imponen dos caracterización de las restricciones:

$$\begin{align} z &= i+r_1\exp(i\theta_1) \quad \text{(%#%#% w.r.t. %#%#%)} \\ &= -i+r_2\exp(i\theta_2) \quad \text{(%#%#% w.r.t. %#%#%)} \end{align}$$ y $$g(z) = (z-i)(z+i) = r_1 r_2 \exp(i\theta_1 + i\theta_2) = g(\tilde{z}) \ .$$ Mediante el uso de este arte de magia inteligente parametrización del texto, se puede fijar arbitrariamente $z$ por la variación de cualquiera de las variables de $z=i$, teniendo en cuenta que nos han impuesto dos caracterización de las restricciones. Por lo tanto todavía tenemos dos grados de libertad; no cuatro.

Por lo tanto, una vuelta completa alrededor de $z$ ahora es simplemente dado por $z=-i$. Del mismo modo, un bucle alrededor de $\tilde{z}$ está dado por $(r_1,r_2,\theta_1,\theta_2)$; las restricciones impuestas cuidar de los demás.