Hasta donde yo sé, $x^{1/2} = \sqrt{x}$. Por otro lado, $\sqrt{i^4} = \sqrt{1} = 1$$(i^4)^{1/2} = i ^ {4/2} = i^2 = -1$. ¿Significa esto que la $\sqrt{x} \neq x^{1/2}$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Utiliza el exponente de la ley de $\left( a^b \right)^c = a^{bc}$ en el siguiente paso:
$\color{red}{(i^4)^{1/2} = i ^ {4/2}} = i^2 = -1$
pero esa regla, si bien es cierto para los números reales y positivos de la base de $a$, no posee en general. Usted puede tener problemas con bases negativas y, más generalmente, con números complejos.
Para obtener más detalles y algunos ejemplos, se puede comprobar el Fracaso de potencia y el logaritmo de las identidades.
Bemte
Puntos
200
Que es una cuestión de definiciones. Ya en los reales, ha $\sqrt{(-1)^2}$, que podría ser de uno o menos uno. En los reales, podemos resolver este problema mediante la definición de que la raíz cuadrada de $x > 0$ siempre debe de ser el único número positivo $y >0$, solución de $y^2 = x$. Sin embargo, no tenemos un orden, es decir, un concepto positivo o negativo-en el campo complejo. Por lo tanto podemos ejecutar en problemas.
Lo cierto es que $\sqrt{x}$ $x^{1/2}$ significan lo mismo, sin embargo, usted tiene que definir lo que es una raíz cuadrada. Como el campo más complejos es algebraicamente cerrado, la ecuación de $y^2 = x$ siempre tiene dos soluciones diferentes para $x \neq 0$ y por lo tanto usted necesita una manera de distinguir a hablar sobre una bien definida de la raíz. Hay maneras de hacerlo, si usted está interesado en que usted puede ser que desee para el estudio de análisis complejo.
De cualquier manera, usted debe recordar que las reglas de la computación con estas funciones no siempre son verdaderos, es decir, la regla de $(a^x)^y = a^{xy}$ sólo se mantiene al tanto de $x$ $y$ son enteros.
scitamehtam
Puntos
348
El problema es la aplicación de la costumbre, las leyes de poder a los números complejos.
El complejo principal de energía se define como $$ z^\alpha=e^{\alpha \,\text{Log}z} $$ con Log(z) el director logaritmo (nota de los capitales en el Registro y Arg).
El director de la raíz cuadrada de $i^4$ es entonces $$ (i^4)^{1/2}=e^{1/2 (\text{Log}\,i^4)} =e^{1/2(\log|i^4|+i\text{Arg}(i^4))} =e^{1/2(\log|1|+i0))} =e^0=1 $$ Tanto las raíces cuadradas de los $i^4$, $\pm1$, siga a partir de los múltiples valores de la naturaleza de la no-principal función de registro (nota: las minúsculas en $\log$$\arg$)
$$ (i^4)^{1/2}=e^{1/2 \left( \text{log}\,i^4\right)} =e^{1/2(\log|i^4|+i\,\text{arg}(i^4))} =e^{1/2(\log|1|+i2k\pi))} =e^{ik\pi}=\pm1 $$ donde $k$ es un número entero.
