Cómo demostrar el Teorema del Apretón para las secuencias

Question

La formulación que estoy viendo va: Si $\lbrace x_n\rbrace$ , $\lbrace y_n\rbrace$ y $\lbrace z_n \rbrace$ son secuencias tales que $x_n \le y_n \le z_n$ para todos $n \in \mathbb N$ y $x_n \to l$ y $z_n \to l$ para algunos $l \in \mathbb R$ entonces $y_n \to l$ también.

Así que tenemos que utilizar la definición de convergencia a un límite para una secuencia: $$\forall \varepsilon > 0, \space \exists N_\varepsilon \in \mathbb N, \space \forall n \ge N_\varepsilon, \space |a_n - l| < \varepsilon$$

He tratado de decir algo como: $|y_n - l| < |x_n - l| + |z_n - l| \le \frac\varepsilon 2 + \frac\varepsilon 2 = \varepsilon$ por cada $\varepsilon > 0$ pero no estoy seguro de cómo llegar hasta allí o si puede haber una forma mejor de demostrar el teorema. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Como $n$ crece, puede obtener la distancia de $x_n$ a $l$ sea menor que cualquier $\epsilon > 0$ y la distancia de $z_n$ a $l$ para ser menos que $\epsilon$ también. Sólo toma el máximo $N$ de los dos índices para $x_n$ y $z_n$ que garantizan esto, y usted conseguirá que ambos $x_n$ y $z_n$ están dentro de $\epsilon$ de $l$ para $n \geq N$ . ¿Qué dice eso de la distancia entre $y_n$ y $l$ , para $n \geq N$ ?