Cómo demostrar el Teorema del Apretón para las secuencias

Question

La formulación que estoy viendo va: Si $\lbrace x_n\rbrace$ , $\lbrace y_n\rbrace$ y $\lbrace z_n \rbrace$ son secuencias tales que $x_n \le y_n \le z_n$ para todos $n \in \mathbb N$ y $x_n \to l$ y $z_n \to l$ para algunos $l \in \mathbb R$ entonces $y_n \to l$ también.

Así que tenemos que utilizar la definición de convergencia a un límite para una secuencia: $$\forall \varepsilon > 0, \space \exists N_\varepsilon \in \mathbb N, \space \forall n \ge N_\varepsilon, \space |a_n - l| < \varepsilon$$

He tratado de decir algo como: $|y_n - l| < |x_n - l| + |z_n - l| \le \frac\varepsilon 2 + \frac\varepsilon 2 = \varepsilon$ por cada $\varepsilon > 0$ pero no estoy seguro de cómo llegar hasta allí o si puede haber una forma mejor de demostrar el teorema. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Desde $x_n \to l$ existe $N_1 = N_1(\varepsilon)$ tal que $|x_n - l| < \varepsilon$ para todos $n \ge N_1$ . Desde $z_n \to l$ existe $N_2 = N_2(\varepsilon)$ tal que $|z_n - l| < \varepsilon$ para todos $n \ge N_2$ . Establecer $N = \max\{N_1,N_2\}$ . Si $n \ge N$ entonces $$y_n - l \le z_n - l < \varepsilon$$ y $$y_n - l \ge x_n - l > -\varepsilon$$ Por lo tanto, $|y_n - l| < \varepsilon$ para todos $n \ge N$ . Desde $\varepsilon$ era arbitraria, $y_n \to l$ .

Answer 2

Escribe

$$|y_n-l|\le |y_n-x_n|+|x_n-l|\le( z_n-x_n)+|x_n-l|$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 3

Bien, esto es lo que tengo ahora:

Dejemos que $x_n \le y_n \le z_n \space\space \forall n \in \mathbb N$ y $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} z_n = l$ para algunos $l \in \mathbb R$ .

Entonces tenemos: $$\begin{align} &\forall \varepsilon_1 > 0,\, \exists N_{\varepsilon_1} \in \mathbb N,\, \forall n \ge N_{\varepsilon_1}\space |x_n - l| < \varepsilon_1 \\ &\forall \varepsilon_2 > 0,\, \exists N_{\varepsilon_2} \in \mathbb N,\, \forall n \ge N_{\varepsilon_2}\space |z_n -l| < \varepsilon_2 \end{align}$$ Dejemos que $N = \max\lbrace N_{\varepsilon_1},N_{\varepsilon_2} \rbrace$ y $\varepsilon = \min\lbrace \varepsilon_1, \varepsilon_2 \rbrace$ , por lo que tenemos $$\forall \varepsilon > 0,\, \exists N \in \mathbb N,\, \forall n \ge N\space |x_n - l| < \varepsilon \space \text{and} \space |z_n -l| < \varepsilon$$

Dejemos que $\frac\varepsilon3 > 0$ . Entonces $\exists N \in \mathbb N,\, \forall n \ge N\space |x_n -l| < \frac\varepsilon3 \text{ and } |z_n -l| < \frac\varepsilon3$ para que $$|z_n - x_n| = |z_n - l + l - x_n| \le |z_n - l| + |x_n - l| < \frac\varepsilon3 + \frac\varepsilon3 = \frac{2\varepsilon}3$$ Por supuesto, $$\begin{align} x_n \le&\, y_n \le z_n \\ 0 \le&\, y_n - x_n \le z_n - x_n \\ &|y_n - x_n| \le |z_n - x_n| \\ |y_n - l| = |y_n - x_n + x_n - l| \le& |y_n - x_n| + |x_n - l| \le |z_n - x_n| + |x_n - l| < \frac{2\varepsilon}3 + \frac\varepsilon3 = \varepsilon \end{align} $$ Y así $\lbrace y_n \rbrace$ también converge a $l$ por lo tanto, Q.E.D.

Creo que eso es satisfactorio. Si hay alguna ambigüedad o error, por favor, háganmelo saber. Gracias a todos por vuestros consejos y aportaciones.

Answer 4

¿Qué tal si $$ |y_n-l|\leq\max\{|x_n-l|,|z_n-l|\}<\varepsilon $$ donde la última desigualdad de lo anterior se mantiene para $n\geq N$ si $N$ ¿es lo suficientemente grande?

Answer 5

Una prueba alternativa es la siguiente:

Prueba: Desde $x_n \leq y_n \leq z_n$ entonces $0\leq y_n-x_n\leq z_n-x_n$ Por lo tanto $|y_n-x_n|\leq z_n-x_n$ .

Combinando lo anterior con el hecho de que $\lim(z_n-x_n)=\lim z_n-\lim x_n=l-l=0 \ $ obtenemos: $$\lim(y_n-x_n)=0$$

Ahora podemos escribir los términos de $(y_n)$ como la suma de los términos de dos secuencias convergentes: $y_n=(y_n-x_n)+x_n$ por lo que tenemos: $$ \lim y_n=\lim\big((y_n-x_n)+x_n \big)=\lim(y_n-x_n)+\lim x_n=0+l=l $$