Calcular el volumen de $T = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 : 0 \leq z \leq x^2 + y^2, (x-1)^2 + y^2 \leq 1, y \geq 0\}$

Question

Calcular el volumen de $T = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 : 0 \leq z \leq x^2 + y^2, (x-1)^2 + y^2 \leq 1, y \geq 0\}$

por lo que dije que la integral que necesitamos es $\iint_{D} {x^2 + y^2 dxdy}$ . Pero cuando dibujé $D$ Tengo esto:

Ahora he dicho que quiero mover el círculo al centro para que tenga su centro en $(0,0)$ así que hice un cambio de variables donde :

$$\begin{array}{11} x=u+1 \\ v = y\\ J(u,v) = 1 \\ u=r\cos\theta\\v=r\sin\theta\\0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq \theta \leq \pi \end{array}$$

Y necesitamos $\iint_{D} {u^2 + 2u + 1 + v dudv}$

Y la integral que finalmente tenemos que calcular es:

$$\int_{0}^{\pi} {d\theta {\int_{0}^{1} r^2\cos\theta + 2r\cos\theta + 1 + r\sin\theta du dv}} = 1 + \pi$$ pero wolfram no está de acuerdo con mi respuesta. ¿Qué ha fallado?

Answer 1

Creo que querías cuadrar y, tal vez, también cambiar $dudv$ a $rdrd\theta$ . Podría ser más fácil utilizar que la ecuación del círculo original es $r=2\cos\theta$ y que $\theta$ varía de 0 a $\pi/2$ .

Answer 2

Se puede avanzar de esta manera, cambiamos a polar como

$$ (x-1)^2+y^2=1 \implies x^2+y^2=2x \implies r=2\cos(\theta),\quad 0\leq \theta \leq \pi/2 .$$

$$ \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2\cos(\theta)} r^2 \,rdrd\theta = \frac{3}{4}\pi. $$