¿Por qué es bueno mantener el término cuadrático en el pequeño $\hbar$ aproximación?

Question

Estoy siguiendo esta serie de notas:

Riccardo Rattazzi, La Ruta de abordaje Integral de la Mecánica Cuántica, Notas de la Conferencia de la Mecánica Cuántica IV, 2009, página 21. Estoy teniendo algunos problemas para entender la pequeña $\hbar$ expansión.

Considere la ruta integral en la mecánica cuántica, dando la amplitud para un spinless de partículas para ir de un punto a a $x_i$ a punto de $x_f$ en el intervalo de tiempo $T$ $$ \int D[x]e^{i\frac{S[x]}{\manejadores}}=\ldots $$ donde $$ S[x]=\int_{0}^{T}dt\,\mathcal{L} $$ supongamos ahora que la acción tiene un punto fijo $x_0$. Vamos a cambiar la variable de integración en la ruta integral de $x$ a las fluctuaciones alrededor del punto fijo $$ x=x_0+y $$ $$ \ldots=\int D[y]e^{i\frac{S[x_0+y]}{\manejadores}}=\ldots $$ Vamos a Taylor ampliar la acción en torno a $x_0$ $$ S[x_0+y]=S[x_0]+\frac{1}{2}\int_0^T dt_1dt_2\,\frac{\delta^2}{\delta x(t_1)\delta x(t_2)}\bigg|_{x_0}y(t_1)y(t_2)+\ldots $$ lo cual nos deja con $$ \ldots=e^{i\frac{S[x_0]}{\manejadores}}\int D[y]e^{\frac{i}{2\manejadores}\int_0^T dt_1dt_2\,\frac{\delta^2}{\delta x(t_1)\delta x(t_2)}\bigg|_{x_0}y(t_1)y(t_2)+\ldots}=\ldots \etiqueta{1.65} $$ aquí es donde el autor considera que el reescalado $$ y=\sqrt{\manejadores}\tilde{y} $$ lo cual nos deja con $$ \ldots=e^{i\frac{S[x_0]}{\manejadores}}\int D[y]e^{\frac{i}{2}\int_0^T dt_1dt_2\,\frac{\delta^2}{\delta x(t_1)\delta x(t_2)}\bigg|_{x_0}\tilde{y}(t_1)\tilde{y}(t_2)+\mathcal{O}(\manejadores^{1/2})} \etiqueta{1.66} $$ y que "obviamente" tiene una expansión en $\hbar$, por lo que al $\hbar$ es pequeña podemos mantener el primer término $$ e^{i\frac{S[x_0]}{\manejadores}}\int D[y]e^{\frac{i}{2}\int_0^T dt_1dt_2\,\frac{\delta^2}{\delta x(t_1)\delta x(t_2)}\bigg|_{x_0}\tilde{y}(t_1)\tilde{y}(t_2)} $$ No me gusta esta justificación. Todo se basa en la modificación de la escala de $y$ hemos introducido, pero habíamos hecho $$ y=\frac{1}{\manejadores^{500}}\tilde{y} $$ no habríamos obtenido una ampliación de los poderes de $\hbar$ en el exponente. ¿Cuál es la justificación adecuada para mantener el término cuadrático?

Answer 1

Usted derecho a estar preocupados por este procedimiento, porque no es siempre estrictamente correcto para realizar una expansión de Taylor en potencias de $\hbar$. Esto es debido a que $\hbar$ es un dimensionful constante: su valor depende del sistema de unidades. Por ejemplo, en unidades del SI $\hbar$ es un número muy pequeño, mientras que en muchos de los "naturales" de la unidad de sistemas utilizados en la física cuántica $\hbar=1$. Claramente, si $\hbar=1$ un bajo orden de expansión de Taylor debe ser una aproximación muy pobre.

En realidad, lo que sucede aquí no es una expansión de Taylor en términos de $\hbar$. Eres Taylor expansión de la dimensión funcional de la $S[x(t)]/\hbar$ sobre el "punto" $x(t) = x_0(t)$ (en realidad es una función, no un punto) hasta cuadrática de orden. Esto puede ser espera que convergen rápidamente si los sucesivos términos en la expansión de las pequeñas. Lo que esto significa físicamente es que la acción asociada con las fluctuaciones cuánticas $y(t) = x(t)-x_0(t)$ es asumido a ser mucho menos de $\hbar$.

En la física de la literatura, es a menudo conveniente para llevar a cabo esas expansiones en términos de un dimensionful parámetro. Sin embargo, tal procedimiento sólo tiene sentido si un apropiado adimensional de expansión de parámetro puede ser identificado y razonablemente pequeño.

Answer 2

1. Primero de todo, recordar que es en general un problema abierto en matemáticas rigurosamente definir una ruta integral. Una heurística de la motivación está dada por una ruta integral de generalización del método de steepest descent alrededor de un no-degenerada punto fijo, es decir, el estado de Hesse $H_{jk}$ debe ser no degenerada.

2. La acción es una suma de un libre/cuadrática parte y una parte de la interacción $$S[x_{\rm cl}\!+\!y] ~=~S_2[y] +S_{\rm int}[y],\tag{1} $$ donde$^1$ $$ S_2[y]~=~S[x_{\rm cl}]+ \frac{1}{2}y^j H_{jk} y^k, \qquad S_{\rm int}[y]~=~{\cal O}(y^3).\tag{2}$$

3. El camino libre integral de la $Z_2$ lee $$Z_2 \exp\left\{-\frac{i}{\manejadores}S[x_{\rm cl}]\right\} ~=~\int {\cal D}y~\exp\left\{\frac{i}{2\manejadores} y^j H_{jk} y^k \right\} ~\stackrel{y=\sqrt{h}\tilde{y}}{=}~ {\cal N} I_2,\etiqueta{3}$$ donde $${\cal N}~=~\prod_x \sqrt{\hbar}~=~ {\sqrt{\hbar}^{\infty}}\tag{4}$$ es una forma de normalización constante de la Jacobiana factor, y donde $$I_2~:=~ \int {\cal D}\tilde{y}~\exp\left\{ \frac{i}{2}\tilde{y}^j H_{jk} \tilde{y}^k\right\} ,\tag{5}$$ es una Gaussiana de la ruta integral, que es independiente de la $\hbar$, y que sea convergente a través de la Mecha de rotación/$i\epsilon$receta.

4. La ruta de acceso completa integral de la $Z$ se define a menudo perturbativa relativamente a la libre ruta integral $$\frac{Z}{Z_2} ~=~\frac{1}{{\cal N} I_2} \int {\cal D}y~\exp\left\{\frac{i}{\hbar}\left( \frac{1}{2}y^j H_{jk} y^k +{\cal O}(y^3)\right)\right\}$$ $$~\stackrel{y=\sqrt{h}\tilde{y}}{=}~ \frac{1}{ I_2}\int {\cal D}\tilde{y}~\exp\left\{ \frac{i}{2}\tilde{y}^j H_{jk} \tilde{y}^k +{\cal O}(\sqrt{\manejadores})\right\} \quad\sim \quad 1+{\cal O}(\sqrt{\manejadores})\quad\text{para}\quad \manejadores~\~0.\la etiqueta{6}$$

5. Nota, en particular, que es crucial para el uso de la sustitución de $y^j=\sqrt{h}\tilde{y}^j$ con el fin de hacer el cuadrática parte de el factor de Boltzmann en la nca. (5) y (6) independiente de $\hbar$. Esta elección pone de manifiesto el papel dominante de la cuadrática parte de el factor de Boltzmann en la $\hbar$-de expansión en comparación con el subleading interacción parte, cf. el método de steepest descent.

6. El $\sim$ símbolo en eq. (6) representa una serie asintótica en $\sqrt{h}$. A menudo no es convergente.

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$^1$ DeWitt condensada notación para no saturar la notación.