¿En qué entorno algebraico puedo enunciar (y demostrar) el teorema del binomio?

Question

En un libro de álgebra estoy trabajando actualmente con una demostración que utiliza el teorema del binomio para $(x+y)^m$ donde $x,y$ son elementos de algún campo arbitrario $k$ . Esto me parece extraño, así que investigué un poco en Internet, pero todas las páginas que afirman (y demuestran) este teorema nunca especifican qué $x$ y $y$ son. Un coeficiente binomial se define por facultades y fracciones de números enteros. Esto no es evaluable en un campo general que no extienda los enteros como $\mathbb Q$ .

Podemos utilizar el mapa $$\mathbb Z \to k,\quad n\mapsto \sum_1^n 1$$ para obtener una representación de los enteros en $k$ pero esto es sólo un grupo, y no está claro (para mí), por qué los inversos de estas representaciones internas en $k$ son también enteros internos (de modo que podríamos definir el coeficiente binomial mediante enteros internos).

Otra cuestión sería si podemos debilitar los requisitos de los campos generales a los anillos (no necesariamente generales). A excepción de la definición de los coeficientes binomiales, no necesitamos los inversos en el enunciado, así que tal vez esto sea posible también en algunos casos (por supuesto, esto funciona para todos los anillos que obtenemos a través de un functor de olvido de un campo, pero me refiero a anillos que no son campos).

Answer 1

Creo que estás viendo $$ (x+y)^n = \sum_{i=0}^n \binom ni x^i y^{n-i} $$ y pensando que la multiplicación de $\binom ni$ con los otros factores es la operación de multiplicación del campo. En realidad no lo es; es la multiplicación "escalar" $\mathbb Z\times k\to k$ que hace sumas repetidas. (Los grupos son $\mathbb Z$ -módulos, ya ves). El coeficiente binomial es realmente un número entero.

En efecto, para demostrar el teorema del binomio, hay que multiplicar $(x+y)^n$ y luego reunir términos similares. Es esa reunión la que produce los coeficientes binomiales: se cuenta cuántos términos se tienen de cada tipo. Esto es un simple recuento, por lo que se obtienen simples números enteros, no elementos del campo.

El teorema del binomio se cumple, en esta forma, en cualquier anillo conmutativo. (Necesitamos que la multiplicación sea conmutativa para que los "términos semejantes" sean realmente semejantes). (Bueno, como ha señalado el usuario26857, basta con que $x$ y $y$ se intercambian entre sí, y el escenario en el que $x$ y $y$ pero lo de que la multiplicación no es conmutativa en general sale bastante a menudo).

Answer 2

Esta es una buena pregunta. Se puede demostrar el teorema del binomio (donde las funciones de elección se interpretan como elementos de la "copia" de $\mathbb{Z}$ en el anillo por exactamente el mapa que has descrito) en cualquier anillo conmutativo. Induce en $n$ En el caso de $n = 1$ siendo claro. $$ (x+y)^n = (x+y)(x+y)^{n-1} = (x+y)\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} x^ky^{n-1-k} $$ Ampliando, el coeficiente de $x^jy^{n-j}$ es $$ \binom{n-1}{j-1} + \binom{n-1}{j} $$ y ganamos ya que nos reducimos a la afirmación habitual en los enteros de que $$ \binom{n}{j} = \binom{n-1}{j-1} + \binom{n-1}{j} $$ (que puedes demostrar de forma biyectiva, pero que ya deberías aceptar puesto que estás dispuesto a aceptar el teorema del binomio sobre $\mathbb{Z}$ .)