Cómo terminar el cálculo de $ \int_0 ^{ \infty } \frac {dz}{z^6+1}$ ?

Question

Tengo $$ \int_0 ^{ \infty } \frac {dz}{z^6+1}$$

Estoy un poco confundido sobre el resultado de los residuos en mi cálculo, pero lo que he hecho:

$$ \frac {1}{2} \int_ {- \infty }^{ \infty } \frac {dz}{z^6+1} = 2 \pi i \left ( \sum_ {j=1}^n res_j \right )$$

por lo tanto $z = \sqrt [6]{-1}$

He descubierto 3 raíces que están en el condado

$ \varphi_1 = \frac { \sqrt {3}}{2} + \frac {i}{2} $

$ \varphi_2 =- \frac {1}{2} + i$

$ \varphi_3 = - \frac { \sqrt {3}}{2} + \frac {i}{2}$

para encontrar los residuos utilicé la fórmula de la fracción:

$$res_{z = a} = \frac { \xi (a)}{ \psi '(a)}$$

así que por lo tanto $$F(z) = \frac {1}{6z^5} = \Bigg\lvert_ {z= \varphi_1..\varphi_3 }$$

y después de eso:

$$res_1 = \frac {1}{6 \left ( \frac { \sqrt {3}}{2}+ \frac {i}{2} \right )^5}$$

$$res_2 = \frac {1}{-6 \left ( \frac {1}{2}-i \right )^5}$$

$$res_3 = \frac {1}{-6 \left ( \frac { \sqrt {3}}{2}- \frac {i}{2} \right )^5}$$

pero después de todo $i$ no se disipó en la respuesta final, así que tal vez estoy haciendo algo mal porque sé que cuando hacemos una integración real con los residuos, debemos deshacernos de $i$ en la respuesta final.

Answer 1

Para llevar a cabo tal integración, usted necesita para especificar una determinada contorno sobre la que se está integrando, ya que las singularidades de la función integradora varían.

Una forma estándar de resolver tales integrales es..:

Las singularidades de la función integradora:

$$f(x) = \frac {1}{x^6+1}$$

vienen como..: $x^6 + 1 = 0$ .

Pero nos estamos integrando más allá de los límites $0$ y $ \infty $ lo que significa que nos encontramos sólo con las raíces que están en el plano superior (hay 3 allí).

Integraremos la función $f(x)$ con respecto a $x$ sobre la curva parcialmente lisa que consiste en la media luna del nivel superior de $γ_R$ con $z(θ) = Re^{iθ}$ , $0 \geq θ \geq π$ y el segmento de línea $[-R,R]$ donde llevamos $R$ para ser lo suficientemente grande, de modo que los puntos de singularidad en el plano superior están dentro $γ_R$ .

Desde el Residuo-Teorema tenemos..:

$$ \int_ {-R}^R \frac {1}{x^6+1}dx + \int_ {γ_R} \frac {1}{z^6+1}dz = 2 \pi i \sum_ {x=x_1, x_2, x_3} \text { Res } f(x)$$

La función también satisface Lemma de Jordania Así es:

$$ \lim_ {R \to \infty } \int_ {γ_R} \frac {1}{z^6+1}=0$$

así que..:

$$ \int_0 ^ \infty\frac {1}{x^6+1}dx= \frac {1}{2} \lim_ {R \to \infty } \int_ {-R}^R \frac {1}{x^6+1}dx= \pi i \sum_ {x=x_1, x_2, x_3} \text { Res } f(x)$$

donde $x_1,x_2,x_3$ son las raíces de $x^6+1=0$ en el plano superior.

¡Te dejaré el cálculo de los residuos a ti!

Answer 2

Abordemos el problema más general de encontrar, para algunos $m \in\mathbb {N}^+$ , $$ I(m)= \int_ {- \infty }^{+ \infty } \frac {dx}{x^{2m}+1}. $$ Al explotar la paridad, la sustitución $ \frac {1}{x^{2m}+1}=u$ la función Beta de Euler y la fórmula de reflexión para la $ \Gamma $ función que tenemos $I(m)= \frac { \pi }{m \sin\frac { \pi }{2m}}$ . Probemos esta identidad a través del teorema del residuo, también. $f(z)= \frac {1}{z^{2m}+1}$ tiene polos simples en $ \zeta_k = \exp\left ( \frac {2 \pi i}{4m}(2k-1) \right )$ para $k=1,2, \ldots ,2m$ .

$$ \operatorname *{Res}_{z= \zeta_k } \frac {1}{z^{2m}+1}= \lim_ {z \to \zeta_k } \frac {z-z_k}{z^{2m}+1} \stackrel {d.H.}{=} \lim_ {z \to z_k} \frac {z}{2m z^{2m}}=- \frac { \zeta_k }{2m} $$ por lo tanto $$ I(m)=- \frac { \pi i}{m} \sum_ {k=1}^{m} \zeta_k =- \frac { \pi i}{m} \sum_ {k=1}^{m} \zeta_1 ^{2k-1}=- \frac { \pi i}{m} \cdot\frac { \zeta_1 ( \zeta_1 ^{2m}-1)}{ \zeta_1 ^2-1}= \frac {2 \pi i}{m \left ( \zeta_1 - \zeta_1 ^{-1} \right )}$$ y por la fórmula de De Moivre obtenemos $$ \boxed { I(m)= \int_ {- \infty }^{+ \infty } \frac {dx}{x^{2m}+1}= \frac { \pi }{m \sin\frac { \pi }{2m}}.}$$

Answer 3

Pista:

El contorno debe consistir en un semicírculo de radio $R$ y el segmento del eje real de $-R$ a $R$ .

Las tres raíces que se están considerando son: $$z_1=e^{ \frac { \pi i}{6}} \,, z_2=e^{ \frac {3 \pi i}{6}} \,, z_3=e^{ \frac {5 \pi i}{6}}$$

Entonces, como has calculado correctamente, $$ \text { Res } f(z)_{z=z_i} = \frac {1}{6z^5} \Bigg\lvert_ {z=z_i}$$

Así, por el teorema del residuo, tenemos entonces, $$I=2 \pi i \sum_ {z=z_1, z_2, z_3} \text { Res } f(z)$$