Aplicación de Stein Lema para Calcular los Momentos de la Normal (0,1)

Question

Dicen que tenemos $X \sim N(0,1)$. Me preguntaba cómo podemos utilizar Stein Lema para derivar los momentos de la investigación.v. $X$ mediante el cálculo de los primeros momentos.

¿Cómo resumiría usted en el formulario de $EX^n$ si los momentos que hemos calculado terminan siendo muy diferentes en forma? O son ellos?

Así que lo que he tratado de hacer hasta ahora es que he usado la fórmula:

$E\bigl(g(X)(X-\mu)\bigr)=\sigma^2 E\bigl(g'(X)\bigr)$

Y a partir de ahí, traté de ver si puedo hacer cualquier sustituciones, pero no creo que pueda. Además, yo realmente no veo cómo usted puede incluso calcular los momentos de esta cosa. De la clase, creo que usted tiene que utilizar la expansión de Taylor, pero yo realmente no veo cómo se puede llegar a que aquí tampoco. Realmente necesito algo de ayuda en esto.

Answer 1

Deje $X \sim N(\mu,\sigma^2)$.

1. Tome $g := 1$. A continuación, Stein lema da $$\mathbb{E}(1 \cdot (X-\mu)) = 0, \tag{1}$$ i.e. $\mathbb{E}(X) = \mu$.
2. Para $g(x):= (x-\mu)^{n-1}$, $n \geq 2$, tenemos, por Stein lema, $$\mathbb{E}((X-\mu)^n) = \sigma^2 (n-1) \mathbb{E}((X-\mu)^{n-2}).$$ If $n$ is odd, i.e. $n=2k+1$, then we get by iteration $$\begin{align*} \mathbb{E}((X-\mu)^n) &= (\sigma^2 (n-1)) (\sigma^2 (n-3)) \cdots (\sigma^2 \mathbb{E}(X-\mu)) \\ &\stackrel{(1)}{=} 0. \end{align*}$$ On the other hand, if $n=2k$ is even, then $$\begin{align*} \mathbb{E}((X-\mu)^n) &= (\sigma^2 (n-1)) (\sigma^2 (n-3)) \cdots (\sigma^2 \cdot 1) \\ &= (\sigma^2)^{\frac{n}{2}} (n-1) (n-3) (n-5) \cdots 1. \end{align*}$$
3. Si no estamos interesados en la centrada en momentos de $\mathbb{E}((X-\mu)^n)$, pero en $\mathbb{E}(X^n)$, entonces podemos usar la identidad $$X^n = ((X-\mu)+\mu)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (X-\mu)^k \mu^{n-k}$$ to express $\mathbb{E}(X^n)$ in terms of $\mu$ and $\sigma^2$, utilizando los resultados del paso 2.